Tonruimte
In de wiskunde, meer bepaald in de functionaalanalyse, wordt het begrip tonruimte gehanteerd als veralgemening van Fréchet-ruimten (en dus in het bijzonder van Banachruimten). Het ontleent zijn belang aan het feit dat de definitie invariant is onder de vorming van finale topologieën.[1]
Definitie[bewerken | brontekst bewerken]
Een ton in een topologische vectorruimte is een deelverzameling die tegelijkertijd aan de volgende vier eigenschappen voldoet:[2]
- radiaal (absorberend): ieder punt van ligt in alle voldoende grote positief reële veelvouden van
- convex
- evenwichtig
- gesloten
De eigenschappen convexiteit en evenwichtigheid worden ook wel samengevat tot absolute convexiteit.
Een tonruimte is een lokaal convexe topologische vectorruimte waarin alle tonnen omgevingen van de nulvector zijn.[3]
Dit is gelijkwaardig met de eis dat lokaal convex is en dat de familie van alle tonnen een omgevingenbasis vormt van de oorsprong. Een derde, gelijkwaardige definitie luidt: een lokaal convexe topologische vectorruimte waarop elke seminorm die halfcontinu langs onder is, meteen ook continu is.[1]
Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]
Elke Fréchet-ruimte, en dus ook elke Banachruimte, is een tonruimte. Dit volgt uit de categoriestelling van Baire samen met de vaststelling[1] dat elke lokaal convexe Baire-ruimte een tonruimte is.
De testfuncties voor de gewone distributietheorie (onbeperkt differentieerbare complexe functies op met compacte drager) vormen een voorbeeld van een tonruimte die geen Baire-ruimte is.
Toepassing[bewerken | brontekst bewerken]
Als motivering voor de definitie van tonruimten geldt de volgende algemene vorm van het principe van uniforme begrensdheid:
- Zij een tonruimte en een lokaal convexe topologische vectorruimte. Dan is iedere familie van puntsgewijs begrensde continue lineaire afbeeldingen van naar uniform equicontinu.
Veralgemening[bewerken | brontekst bewerken]
Een halftonruimte is een lokaal convexe topologische vectorruimte waarin elke verzameling die aan de volgende voorwaarden voldoet, een nulomgeving is:
- absorbeert ieder begrensd deel van ;
- is de intersectie van een rij convexe, evenwichtige gesloten nulomgevingen van .
Iedere tonruimte is een halftonruimte. Iedere bornologische ruimte is eveneens een halftonruimte.[4]
Bronnen, noten en/of referenties
|