Totale differentiaalvergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een totale differentiaalvergelijking of exacte differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking waarvan de algemene vorm kan geschreven worden als:

P(x,y) \, dx \, + \, Q(x,y) \, dy \, = \, 0 \!

waarbij de partiële afgeleiden van P(x,y) naar y en van Q(x,y) naar x, de zogenaamde gekruiste afgeleiden, aan elkaar gelijk zijn:

 \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \, = \, \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}

Dit soort differentiaalvergelijking komt soms voor in de natuurkunde, waar ze als oplossing een behoudswet hebben.

Oplossingsmethode[bewerken]

Het feit dat de twee bovenvermelde partiële afgeleiden gelijk zijn betekent dat er een functie:

f(x,y) \!

bestaat waarvan de partiële afgeleiden de functie P(x,y) en Q(x,y) uit de differentiaalvergelijking zijn:

\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \, = \, P(x,y) \quad ; \quad  \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \, = \, Q(x,y)

en waarvan de differentiaalvergelijking de totale differentiaal is. De functie f(x,y) kan dus gevonden worden, hetzij door P(x,y) naar x te integreren, of hetzij door Q(x,y) naar y te integreren. In de praktijk kiest men de integraal die het eenvoudigst te berekenen is. Stel dat dit het geval is voor de integraal van P(x,y) naar x. Dan kan f(x,y) worden geschreven als:

f(x,y) \, = \int P(x,y)\, dx + \phi(y)

De hier toegevoegde functie  \scriptstyle \phi(y) houdt rekening met de mogelijkheid dat de functie f(x,y) een bijdrage kan bevatten die enkel van de veranderlijke y afhangt, en waarvan dus in P(x,y) geen spoor te vinden is omdat P(x,y) ontstaat door f(x,y) naar x af te leiden. In het geval f(x,y) wordt gezocht door Q(x,y) naar y te integreren moet een toegevoegde functie van x voorzien worden.

Deze onbekende functie wordt bepaald door deze uitdrukking van f(x,y) partieel naar y af te leiden, en dit resultaat te vergelijken met Q(x,y):

\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \,= \, \frac{\partial}{\partial y} (\int P(x,y) \, dx) \,+ \, \frac{d\phi(y)}{dy} \, = \, Q(x,y)

Op deze manier wordt de afgeleide van de toegevoegde functie y(x) verkregen, en door integratie naar y de toegevoegde functie zelf. De algemene oplossing is dan de familie impliciete functies:

f(x,y) \, = \, K \!

Voorbeeld[bewerken]

De differentiaalvergelijking:

(2xy \, + \,cos(x)) \, dx \, + \, (x^2 \, + \, 3y^2) \, dy \, = \, 0 \!

is een totale differentiaalvergelijking. De functie f(x,y) kan worden bekomen door (bijvoorbeeld) P(x,y) naar x te integreren:

f(x,y) \, = \, \int P(x,y)dx \, + \, \phi(y) \, = \, x^2y \, + \, sin(x) \, + \, \phi(y)

De afgeleide hiervan naar y moet gelijk zijn aan Q(x,y):

x^2 \, + \, \phi'(y) \, = \, x^2 \, + \,3y^2 \!

Zodat:

\phi(y) \, = \, y^3 \!

Het is niet nodig hier een willekeurige integratieconstante te voorzien omdat deze toch zal opgaan in de willekeurige constante van de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is dus:

x^2y \, + \, sin(x) \, + \, y^3 \, = \, K \!

Behoud van energie[bewerken]

De gravitatiewet van Newton in één dimensie wordt beschreven door de tweede orde differentiaalvergelijking:

m \, \frac{d^2r}{dt^2} \, = \, - \, G \, \frac{M.m}{r^2}

waar M de aantrekkende massa is, m een kleine testmassa, r de afstand van de testmassa tot de aantrekkende massa en G de universele gravitatieconstante. De tweede afgeleide van r naar t kan worden herschreven als:

\frac{d^2r}{dt^2} \, = \frac{dv}{dt} \, = \, \frac{dv}{dr} \, \frac{dr}{dt} \, = v \, \frac{dv}{dr}

waarbij v de snelheid van de testmassa is, zodat de gravitatiewet wordt herschreven als:

m \,v \, dv \, + \, G \, \frac{M.m}{r^2} \,dr \, = 0

Dit is een totale differentiaalvergelijking want de gekruiste afgeleiden zijn beiden nul. (Deze differentiaalvergelijking is overigens ook op te lossen met de methode voor scheiden van veranderlijken). De algemene oplossing is:

\frac{1}{2} \, m \, v^2 \, + \, ( \, - \, G \, \frac{M.m}{r} \, ) \, = \, K

en dit is niets anders dan een vorm van de wet van behoud van energie. De eerste term bevat de kinetische energie, de tweede de potentiële energie van de testmassa. Het nulniveau van de potentiële energie ligt hier op oneindig.

Totale differentiaalvergelijking in drie dimensies[bewerken]

De differentiaalvergelijking:

P(x,y,z) \, dx \, + \, Q(x,y,z) \, dy \, + \, R(x,y,z) \, dz \, = \, 0 \!

is een totale differentiaalvergelijking indien:

 \frac{\partial P(x,y,z)}{\partial y} \, = \, \frac{\partial Q(x,y,z)}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial Q(x,y,z)}{\partial z} \, = \, \frac{\partial R(x,y,z)}{\partial y} \quad ; \quad \frac{\partial R(x,y,z)}{\partial x} \, = \, \frac{\partial P(x,y,z)}{\partial z}

Indien er een functie  f(x,y,z) \! bestaat met:

\frac{\partial f}{\partial x} \, = \, P(x,y,z) \quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial y} \, = \, Q(x,y,z) \quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial z} \, = \, R(x,y,z)

dan is de algemene oplossing:

f(x,y,z) \, = \, K \!


Zie ook[bewerken]

Alternatieve methoden om vergelijkingen van de vorm y' = f(x,y) of P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 op te lossen.