Plastisch getal

Het plastisch getal is in de architectuur een speciale verhouding waarmee een hele reeks van met elkaar verbonden verhoudingen samenhangt. Deze verhoudingen vormen de grondslag van een verhoudingenleer, ontwikkeld door de priester en architect Dom Hans van der Laan (1904-1991). In navolging en als uitbreiding van het in bepaald opzicht verwante gulden getal φ, wordt het plastisch getal vaak aangeduid met de Griekse letter ψ (psi). Het getal ψ voldoet aan de wiskundige vergelijking:

$\psi ^{3}=1+\psi \,.$

Als enige reële oplossing heeft het de waarde:

$\psi ={\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx 1{,}3247$.

Het plastisch getal is de limiet van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Padovan en de rij van Perrin. Het staat tot deze reeksen in dezelfde relatie als de gulden snede tot de rij van Fibonacci en de zilveren verhouding tot de Pell-getallen.

Zoals de gulden snede uitgedrukt kan worden als kettingwortel met vierkantswortels, zo laat het plastisch getal zich schrijven als kettingwortel met derde-machtswortels:

$\psi ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\dots }}}}}}.$

De gulden snede is ook het uitgangspunt van de door Van der Laan ontwikkelde verhoudingsleer in de architectuur. De associatie met drie dimensies is uitgedrukt in de derde macht van ψ in de aan de gulden snede ontleende relatie. Kiest men de verhoudingen tussen de breedte b, de lengte l en de hoogte h zo dat:

$l:b=h:l=b+l:h,\,$

dan is deze verhouding juist gelijk aan het plastisch getal.

Zo kreeg de klassieke leer van de gulden snede een samenhangende driedimensionale toepassing.

Deze verhouding vormde de basis van zijn systeem, maar werd door Van der Laan toch ongeschikt geacht om alle interne verhoudingen binnen een bouwwerk en de verhoudingen van dat bouwwerk met zijn omgeving te bepalen: daarvoor wilde hij een verhoudingsreeks vinden tussen wat hij de "acht orden van grootte" noemde, die hij zag als de fundamentele kwantitatieve ordening van de architectonische esthetica. Hiervoor nam hij de formule: x + 1 = x ³. Dit leverde een achtvoudige verhoudingsreeks op, het "Plastisch Getal", van 1:1, 4:3, 7:4, 7:3, 3, 4, 16:3 en 7. Aangezien 16 het kwadraat is van 4, kan men alle verhoudingen elegant uitdrukken in de getallen 1, 3, 4 en 7 — met dus als enkelvoudig deelbare verhoudingen 1:1, 3:4, 4:7, 3:7, 1:3, 1:4, 3:16 en 1:7. Van der Laan verkreeg zo een verhoudingssysteem dat hij intuïtief als juist ervoer en dat hij als basis gebruikte voor het architectonisch ontwerp. De wanddikte van een gebouw werd dan als concrete begineenheid in deze reeks genomen en verder uitgebreid tot het gebouw zelf, en uiteindelijk het stadskwartier.

Deze leer werd veelvuldig gebruikt binnen de Bossche School

bibliografie

Dom Hans van der Laan, Het Plastische Getal, XV lessen over de grondslagen van de architectonische ordonnantie, Leiden, E.J. Brill, 1967.

Zie ook

• De Groep

Dom Hans van der Laan was geen prieser, maar een (Nederlandse Benedictijner) monnik! Geen idee hoe ik dat hier kan veranderen. Zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Hans_van_der_Laan_%28architect%29