Rij van Padovan

Spiraal van gelijkzijdige driehoeken met zijden volgens de rij van Padovan

De rij van Padovan is een rij van gehele getallen $P_{n}$ die wordt gedefinieerd door de beginvoorwaarden:

$P_{0}=P_{1}=P_{2}=1$

en de recurrente betrekking

$P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}$

Het begin van de rij is:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, ...

De rij is naar de architect en schrijver Richard Padovan genoemd, die zijn ontdekking aan de Nederlandse architect Hans van der Laan toeschreef. De wiskundige Ian Stewart heeft de rij in zijn column Mathematical Recreations in de Scientific American van juni 1996 beschreven.

Berekeningen

De vergelijking $x^{3}=x+1$ volgt uit de substitutie $P_{n}=x_{n}$. Noem het plastische getal ψ de reële oplossing en $q$ en ${\bar {q}}$ de twee complexe oplossingen van deze vergelijking. Samen met de beginvoorwaarden volgt voor $n>2$:

$P_{n}={\frac {\psi ^{n}}{3\psi ^{2}-1}}+{\frac {q^{n}}{3q^{2}-1}}+{\frac {{\bar {q}}^{n}}{3{\bar {q}}^{2}-1}}$

Zoals de gulden snede $\phi =(1+{\sqrt {5}})/2$ de limiet is van de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci, is $\psi$ de limiet van de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de rij van Padovan:

$\psi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}.$

De voortbrengende functie van de rij van Padovan is:

$\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}x^{n}={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}$

Rij van Perrin

De rij van Perrin $Per_{n}$ voldoet aan dezelfde recurrente betrekking als de rij van Padovan, maar heeft andere beginvoorwaarden:

$Per_{0}=3$

$Per_{1}=0$

$Per_{2}=2$

voetnoten

websites

• MathWorld. Padovan Sequence.
• R Padovan. Dom Hans van der Laan and the Plastic Number, 2002. voor Nexus Network Journal 4, 3
• T Hutty. Calculators for Fibonacci and other Sequences, 2006. gearchiveerd