Algebraïsche onafhankelijkheid

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, noemt men de elementen $s_{1},\ldots ,s_{n}\in L$ van een lichaamsuitbreiding $L$ van een lichaam/veld $K$ algebraïsch afhankelijk over $K$, als zij voldoen aan een niet-triviale polynoom met coëfficiënten in $K$. Is zo'n polynoom er niet dan heten de elementen algebraïsch onafhankelijk over $K$.

Definitie

Laat $L$ van een lichaamsuitbreiding zijn van het lichaam/veld $K$. De elementen $s_{1},\ldots ,s_{n}\in L$ heten algebraïsch afhankelijk over $K$, als er een polynoom $p$ in $n$ variabelen is, met coëfficiënten in $K$ en ongelijk aan het nulpolynoom, zodanig dat

$p(s_{1},\ldots ,s_{n})=0$.

Is er niet zo'n polynoom, dan heten $s_{1},\ldots ,s_{n}\in L$ algebraïsch onafhankelijk over $K$.

Een eindige deelverzameling $S\subseteq L$ noemt men algebraïsch (on)afhankelijk over $K$, als de elementen van $S$ algebraïsch (on)afhankelijk zijn over $K$.

Een willekeurige deelverzameling $D$ van $L$ noemt men algebraïsch afhankelijk over $K$ als er een eindige deelverzameling van $D$ is die algebraïsch afhankelijk is over $K$. Is zo'n deelverzameling er niet dan heet $D$ algebraïsch onafhankelijk over $K$.

Externe link

• (en) MathWorld, "Algebraically Independent". Gearchiveerd op 4 december 2021.