Appell-veeltermen

In de wiskunde duidt men met Appell-veeltermen of Appell-rij een veeltermrij aan, met de eigenschap dat de afgeleide van de n-de veelterm gelijk is aan n maal de (n-1)-de veelterm. Ze zijn genoemd naar de Franse wiskundige Paul Appell die er in 1880 een artikel over publiceerde.^[1]

Een Appell-rij is dus een rij veeltermen $A_{0}(x),A_{1}(x),\dots ,A_{n-1}(x),A_{n}(x),\dots$ waarbij $A_{n}(x)$ een veelterm is van graad n, en

{\frac {\mathrm {d} A_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}=nA_{n-1}(x).

Er zijn oneindig veel rijen van veeltermen die hieraan voldoen; de eenvoudigste is wellicht de rij

1,x,x^{2},\dots ,x^{n},\dots

van de opeenvolgende machten van de variabele x. Maar men kan met een willekeurige rij getallen $a_{i},i=0,1,\dots (a_{0}\neq 0)$ een Appell-rij maken; de overeenkomstige rij is:

A_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{n \choose k}x^{n-k}

, waarvan de eerste termen zijn:

A_{0}(x)=a_{0}

A_{1}(x)=a_{0}x+a_{1}

A_{2}(x)=a_{0}x^{2}+2a_{1}x+a_{2}

A_{3}(x)=a_{0}x^{3}+3a_{1}x^{2}+3a_{2}x+a_{3}

A_{4}(x)=a_{0}x^{4}+4a_{1}x^{3}+6a_{2}x^{2}+4a_{3}x+a_{4}

enzovoort. De n-de veelterm wordt recursief bepaald door:

A_{n}(x)=\int _{0}^{x}A_{n-1}(t)\mathrm {d} t+a_{n}

waarin de integratieconstante $a_{n}$ vrij te kiezen is (op voorwaarde dat $a_{0}\neq 0$ is). Als men $a_{0}=1,a_{1}=a_{2}=\dots =0$ kiest, verkrijgt men de machten van x.

Hermite-veeltermen (mits scalering), Bernoulli- en Euler-veeltermen zijn voorbeelden van Appell-rijen. Bernoulli-veeltermen verkrijgt men door als integratieconstanten de Bernoulligetallen te nemen.

Voortbrengende functie

Appell noemde de functie

f(h)=a_{0}+a_{1}h+{\tfrac {a_{2}}{2!}}h^{2}+\dots +{\tfrac {a_{n}}{n!}}h^{n}+\dots

de voortbrengende functie van een Appell-rij. Bij elke $f(h)$ met gegeven coëfficiënten $(a_{i})$ hoort een Appell-rij $(A_{n})$ en omgekeerd. Het verband komt tot uiting indien men het product maakt van $f(h)$ met

e^{hx}=1+hx+{\tfrac {h^{2}}{2!}}x^{2}+\dots +{\tfrac {h^{n}}{n!}}x^{n}+\dots

Als men dit product rangschikt naar de machten van $h$ , is de coëfficiënt van ${\tfrac {h^{n}}{n!}}$ gelijk aan $A_{n}$ :

f(h)e^{hx}=A_{0}+A_{1}h+A_{2}{\tfrac {h^{2}}{2!}}+\dots +A_{n}{\tfrac {h^{n}}{n!}}+\dots

Voorbeelden

Voor de machten van x is de voortbrengende functie $f(h)=1.$

Met de voortbrengende functie $f(h)=1-h$ verkrijgt men:

(1-h)e^{hx}=1+(x-1)h+(x^{2}-2x){\tfrac {h^{2}}{2!}}+(x^{3}-3x^{2}){\tfrac {h^{3}}{3!}}+\dots

wat de veeltermrij $A_{n}=x^{n}-nx^{n-1}$ oplevert.

Als de functie $f(h)$ de rij $(A_{i}),i=0,1,2,\dots$ voortbrengt, en $(B_{i}),i=0,1,2,\dots$ wordt voortgebracht door de afgeleide $f'(h)$ , is het verband tussen beide rijen:

B_{n}=A_{n+1}-xA_{n}

Als de functie $f(h)$ de rij $(A_{i}),i=0,1,2,\dots$ voortbrengt, en $(C_{i}),i=0,1,2,\dots$ wordt voortgebracht door de integraal $\int {f(h)\mathrm {d} h}$ ,is het verband tussen beide rijen: