Bézierkromme

Een bézierkromme met graad 3 (vier punten)

Een bézierkromme (of béziercurve) is in de wiskunde een type parametrische kromme, bepaald door twee of meer punten in een vlak of ruimte, die het eerste punt verbindt met het laatste, vertrekkend in de richting van het tweede punt, steeds de richting aanpassend naar een volgend punt, en aankomend bij het laatste vanuit de richting van het voorafgaande punt. De parametrische voorstelling wordt gegeven door het algoritme van Paul de Casteljau. In hogere dimensies bestaan ook bézier-oppervlakken met overeenkomstige eigenschappen.

Geschiedenis

Pierre Bézier was een Franse ingenieur die deze krommen in de automobielindustrie (Renault) gebruikte.

Definitie

De béziercurve van graad $n$, bepaald door de $n+1$ punten $P_{0},\ldots ,P_{n}$ in de $\mathbb {R} ^{3}$, is de parametrische kromme gegeven door:

$B(t)=\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)P_{i};\quad t\in [0,1]$

Daarin zijn $b_{i,n}$ zgn. bernsteinpolynomen, gedefinieerd als:

$b_{i,n}(t)={\tbinom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i};\quad i=0,\ldots ,n$

Voorbeelden

Lineaire bézierkromme

Kwadratische bézierkromme

Derdegraads bézierkromme

Vierdegraads bézierkromme

Lineaire bézierkromme

De bézierkromme van de graad 1, bepaald door de twee punten $P_{0}$ en $P_{1},$ is niets anders dan de verbindende rechte lijn tussen deze twee punten:

$B(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1};\quad t\in [0,1]$

Kwadratische bézierkromme

De Bézierkromme van de graad 2, bepaald door de drie punten $P_{0},P_{1}$ en $P_{2}$, is de curve:

$B(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2};\quad t\in [0,1]$

De kromme ligt in het vlak door de gegeven 3 punten. Uitgedrukt in coödinaten in dit vlak zijn de punten:

$P_{0}=(x_{0},y_{0}),\,P_{1}=(x_{1},y_{1}),\,P_{2}=(x_{2},y_{2})$

en wordt de kromme gegeven door de vergelijking

$(x-x_{0})^{2}(y_{0}+y_{2}-2y_{1})^{2}+$

$(y-y_{0})^{2}(x_{0}+x_{2}-2x_{1})^{2}-$

$2(x-x_{0})(y-y_{0})(y_{0}+y_{2}-2y_{1})(x_{0}+x_{2}-2x_{1})+$

$4[(x-x_{0})(y_{1}-y_{0})-(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})]*$

$[(x_{1}-x_{0})(y_{0}+y_{2}-2y_{1})-(y_{1}-y_{0})(x_{0}+x_{2}-2x_{1})]$

$=0$

Ook in drie dimensies ligt kromme in het vlak door de gegeven 3 punten, die dan elk gegeven zijn door $P_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$. Ook nu kunnen vergelijkingen voor de kromme opgesteld worden, die weliswaar niet gecompliceerd zijn, maar nogal wijdlopig.

Derdegraads bézierkromme

De bézierkromme van graad 3, opgebouwd uit de vier punten (in een vlak, of in de ruimte) $P_{0},\,P_{1},\,P_{2}$ en $P_{3}$, is:

$B(t)=(1-t)^{3}P_{0}+3t(1-t)^{2}P_{1}+3t^{2}(1-t)P_{2}+t^{3}P_{3};\quad t\in [0,1]$

Toepassingen

Derdegraads bézierkrommen worden veel gebruikt. Zij verbinden het beginpunt $P_{0},\,P_{1},\,P_{2}$ en $P_{3}$ en kunnen door de keuze van de tussengelegen punten $P_{1}$ en $P_{2}$ zo aangepast worden dat de gewenste begin- en eindrichting verkregen wordt, en de kromme ook nog door een gewenst punt gaat.

Praktisch worden ze gebruikt:

• voor afbeeldingen, om gladde krommen te tekenen;
• voor lettertypes: TrueType-lettertypes gebruiken eenvoudige kwadratische bézierkrommes
• voor digitale animatie (CGI), om een zo natuurlijk mogelijke beweging te simuleren.

Mediabestanden

Zie de categorie Bezier Curves van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.