Bézierkromme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een Bézierkromme met graad 3 (vier punten)

Een Bézierkromme (of Béziercurve) is in de wiskunde een type parametrische kromme, bepaald door twee of meer punten in een vlak of ruimte, die het eerste punt verbindt met het laatste, vertrekkend in de richting van het tweede punt, steeds de richting aanpassend naar een volgend punt, en aankomend bij het laatste vanuit de richting van het voorafgaande punt. De parametrische voorstelling wordt gegeven door het algoritme van Paul de Casteljau. In hogere dimensies bestaan ook Bézier-oppervlakken met overeenkomstige eigenschappen.

Geschiedenis[bewerken]

Pierre Bézier was een Franse ingenieur die deze krommen in de automobielindustrie (Renault) gebruikte.

Definitie[bewerken]

De Béziercurve van graad bepaald door de punten in de , is de parametrische kromme gegeven door:

Daarin zijn zgn. bernsteinpolynomen, gedefinieerd als:


Voorbeelden[bewerken]

Lineaire Bézierkromme
Kwadratische Bézierkromme
Derdegraads Bézierkromme
Vierdegraads Bézierkromme

Lineaire Bézierkromme[bewerken]

De Bézierkromme van de graad 1, bepaald door de twee punten en is niets anders dan de verbindende rechte lijn tussen deze twee punten:

Kwadratische Bézierkromme[bewerken]

De Bézierkromme van de graad 2, bepaald door de drie punten en is de curve:

.

De kromme ligt in het vlak door de gegeven 3 punten. Uitgedrukt in coödinaten in dit vlak zijn de punten:

en wordt de kromme gegeven door de vergelijking

Ook in drie dimensies ligt kromme in het vlak door de gegeven 3 punten, die dan elk gegeven zijn door Ook nu kunnen vergelijkingen voor de kromme opgesteld worden, die weliswaar niet gecompliceerd zijn, maar nogal wijdlopig.

Derdegraads Bézierkromme[bewerken]

De Bézierkromme van graad 3, opgebouwd uit de vier punten (in een vlak, of in de ruimte) P0, P1, P2 en P3, is:

.

Toepassingen[bewerken]

Derdegraads Bézierkrommen worden veel gebruikt. Zij verbinden het beginpunt P0 met het eindpunt P3 en kunnen door de keuze van de tussengelegen punten P1 en P2 zo aangepast worden dat de gewenste begin- en eindrichting verkregen wordt, en de kromme ook nog door een gewenst punt gaat.

Praktisch worden ze gebruikt:

  • voor afbeeldingen, om gladde krommen te tekenen;
  • voor lettertypes: TrueType-lettertypes gebruiken eenvoudige kwadratische Bézierkrommes
  • voor digitale animatie (CGI), om een zo natuurlijk mogelijke beweging te simuleren.