Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een Brahmaguptapolynoom van de orde n is elk van de polynomen die op de eerste rij staan van de n -de macht van de Brahmaguptamatrix
B
(
x
,
y
,
1
)
=
[
x
y
t
y
x
]
.
{\displaystyle B(x,y,1)={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}.}
De n -de macht daarvan is:
[
x
y
t
y
x
]
n
=
[
x
n
y
n
t
y
n
x
n
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&y_{n}\\ty_{n}&x_{n}\end{bmatrix}}.}
De polynomen voldoen daarmee aan het paar recurrente betrekkingen :
x
n
+
1
=
x
⋅
x
n
+
t
⋅
y
⋅
y
n
{\displaystyle x_{n+1}=x\cdot x_{n}+t\cdot y\cdot y_{n}}
y
n
+
1
=
x
⋅
y
n
+
y
⋅
x
n
{\displaystyle y_{n+1}=x\cdot y_{n}+y\cdot x_{n}}
De eerste polynomen zijn:
x
0
=
1
{\displaystyle x_{0}=1}
y
0
=
0
{\displaystyle y_{0}=0}
x
1
=
x
{\displaystyle x_{1}=x}
y
1
=
y
{\displaystyle y_{1}=y}
x
2
=
x
2
+
t
y
2
{\displaystyle x_{2}=x^{2}+ty^{2}}
y
2
=
2
x
y
{\displaystyle y_{2}=2xy}
x
3
=
x
3
+
3
t
x
y
2
{\displaystyle x_{3}=x^{3}+3txy^{2}}
y
3
=
3
x
2
y
+
t
y
3
{\displaystyle y_{3}=3x^{2}y+ty^{3}}
De algemene vorm is:
x
n
=
∑
k
=
0
,
k
e
v
e
n
n
(
n
k
)
t
k
/
2
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=0,k\,even}^{n}{\tbinom {n}{k}}t^{k/2}x^{n-k}y^{k}}
y
n
=
∑
k
=
1
,
k
o
n
e
v
e
n
n
(
n
k
)
t
(
k
−
1
)
/
2
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1,k\,oneven}^{n}{\tbinom {n}{k}}t^{(k-1)/2}x^{n-k}y^{k}}
De Brahmaguptapolynomen voldoen ook aan de volgende betrekking tussen de partiële afgeleiden :
∂
x
n
∂
x
=
∂
y
n
∂
y
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle {\frac {\partial x_{n}}{\partial x}}={\frac {\partial y_{n}}{\partial y}}=nx_{n-1}}
∂
x
n
∂
y
=
t
∂
y
n
∂
x
=
n
t
y
n
−
1
{\displaystyle {\frac {\partial x_{n}}{\partial y}}=t{\frac {\partial y_{n}}{\partial x}}=nty_{n-1}}
Relatie met Pellgetallen
Voor
x
=
y
=
1
,
t
=
2
{\displaystyle x=y=1,t=2}
is de Brahmaguptapolynoom
y
n
=
P
n
{\displaystyle y_{n}=P_{n}}
, het n -de Pellgetal , en
2
x
n
=
Q
n
{\displaystyle 2x_{n}=Q_{n}}
, het n -de Pellgetal van de tweede soort.