Concordant (statistiek)

In de statistiek wordt een paar (verschillende) waarnemingsparen $(X_{i},Y_{i})$ en $(X_{j},Y_{j})$ van een tweetal stochastische variabelen concordant genoemd, als de ordening van $X_{i}$ en $X_{j}$ overeenkomt met de ordening van $Y_{i}$ en $Y_{j}$. Is de ordening tegengesteld, dan heet het paar discordant.

Een concordant paar heeft dus met $X_{i}<X_{j}$ ook $Y_{i}<Y_{j}$, en met $X_{i}>X_{j}$ ook $Y_{i}>Y_{j}$.

Een discordant paar heeft met $X_{i}<X_{j}$ daarentegen $Y_{i}>Y_{j}$, en met $X_{i}>X_{j}$ analoog $Y_{i}<Y_{j}$

Deze eigenschappen kunnen met de functie signum als volgt geformuleerd worden.

Definitie

Laat $(X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})$ een steekpoef zijn van het tweetal simultaan verdeelde stochastische variabelen $X$ en $Y$. Het tweetal paren $(X_{i},Y_{i})$ en $(X_{j},Y_{j}),j\neq i$ met $X_{i}\neq X_{j}$ en $Y_{i}\neq Y_{j}$ heet een concordant paar als

$\operatorname {sgn}(X_{i}-X_{j})=\operatorname {sgn}(Y_{i}-Y_{j})$.

Het tweetal heet een discordant paar als

$\operatorname {sgn}(X_{i}-X_{j})=-\operatorname {sgn}(Y_{i}-Y_{j})$.

Het tweetal paren $(X_{i},Y_{i})$ en $(X_{j},Y_{j})$ van een concordant (discordant) paar worden ook concordante (discordante) paren genoemd.

2×2-tabel

De steekproef van twee simultaan verdeelde dichotome stochastisch variabelen $X$ met waarden $x_{0}$ en $x_{1}>x_{0}$, en $Y$ met waarden $y_{0}$ en $y_{1}>y_{0}$ kan eenvoudig weergegeven worden in de kruistabel:

	$Y=y_{0}$	$Y=y_{1}$
$X=x_{0}$	$N_{00}$	$N_{01}$
$X=x_{1}$	$N_{10}$	$N_{11}$

waarin $N_{ij}$ de aantallen steekproefelementen met de betrokken waarden voorstellen.

Het tweetal $(x_{0},y_{0})$ $(x_{1},y_{1})$ is een concordant paar en het tweetal $(x_{0},y_{1})$ $(x_{1},y_{0})$ een discordant paar. Anders gezegd zijn $(x_{0},y_{0})$ en $(x_{1},y_{1})$ concordante paren en $(x_{0},y_{1})$ en $(x_{1},y_{0})$ discordante paren.

Er zijn $N_{00}$ paren $(x_{0},y_{0})$ en $N_{11}$ paren $(x_{1},y_{1})$ die gecombineerd een concordant paar vormen. Het aantal concordante paren bedraagt dus $N_{00}N_{11}$, waarbij is afgezien van de volgorde.

Er zijn $N_{01}$ paren $(x_{0},y_{1})$ en $N_{10}$ paren $(x_{0},y_{1})$ die gecombineerd een discordant paar vormen. Het aantal discordante paren bedraagt dus $N_{01}N_{10}$, waarbij is afgezien van de volgorde.

Dit kan ook als volgt beschreven worden. De $n=N_{00}+N_{01}+N_{10}+N_{11}$ steekproefelementen kunnen gecombineerd worden tot $n^{2}$ paren, bestaande uit alle $N_{ij}N_{rs}$ paren $(x_{i},y_{j})$ $(x_{r},y_{s})$ voor $i,j,r,s\in \{0,1\}$

Daarvan zijn de $N_{00}N_{11}$ paren $(x_{0},y_{0})$ $(x_{1},y_{1})$ concordant, en in wezen dezelfde als de $N_{11}N_{00}$ paren $(x_{1},y_{1})$ $(x_{0},y_{0})$.

Evenzo zijn de $N_{01}N_{10}$ paren $(x_{0},y_{1})$ $(x_{1},y_{0})$ discordant, en in wezen dezelfde als de $N_{10}N_{01}$ paren $(x_{1},y_{0})$ $(x_{0},y_{1})$.

Toepassing

De begrippen 'concordant' en 'discordant' vinden toepassing in:

• Kendalls tau

Literatuur

• Kendall rank correlation.
• Kendall, M. (1948) Rank Correlation Methods, Charles Griffin & Company Limited
• Kendall, M. (1938) "A New Measure of Rank Correlation", Biometrica, 30, 81-89.

Externe links

• MacTutor: David George Kendall
• Janus: The Papers of Professor David Kendall