Conway-groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn de Conway-groepen Co1, Co2 en Co3, drie sporadische groepen, die zijn ontdekt door John Horton Conway.

Thomas Thompson vertelt hoe John Leech rond 1964 nauwe verpakkingen van bollen in Euclidische ruimten van hoge dimensie onderzocht. Een van Leech zijn ontdekkingen was een roosterverpakken in de 24-dimensionale ruimte, gebaseerd op wat later het Leech-rooster, Λ, werd genoemd. Hij vroeg zich af of de symmetriegroep van zijn rooster een interessante enkelvoudige groep bevatte, maar voelde dat hij hierbij hulp nodig had van iemand die beter vertrouwd was met de groepentheorie. Omdat veel wiskundigen aan wie hij dit vroeg logischerwijs hun eigen agenda hadden, moest Leech nog tamelijk lang rondvragen, voordat hij John Conway kon overhalen het probleem te onderzoeken. John Griggs Thompson zei, dat hij geïnteresseerd zou zijn als men hem de orde van de groep zou geven. Conway verwachtte een aantal maanden of jaren aan het probleem te moeten besteden, maar hij vond het resultaat in slechts enkele sessies.

De grootste van de Conway-groepen, Co1 is van orde

4.157.776.806.543.360.000

Dit getal wordt verkregen als het quotiënt van de Co0 (automorfismegroep van Λ) door haar centrum, dat bestaat uit de scalaire matrices ±1. De groepen Co2 (van orde 42.305.421.312.000) en Co3 (van orde 495.766.656.000) bestaan uit de automorfismen van Λ, die respectievelijke een roostervector van type 2 en een vector van type 3 vastpinnen. (Het type van een vector is gelijk aan de helft van haar gekwadrateerde norm, vˑv.) Wanneer de scalar -1 geen niet-nul zijnde vector vastpint, kunnen we deze twee groepen als deelgroepen van Co1 beschouwen.