Sporadische groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde is een sporadische groep een van de 26 bijzondere groepen in de classificatie van eindige enkelvoudige groepen. Een enkelvoudige groep is een groep G die geen normale subgroepen heeft behalve de triviale groep, een deelgroep, die alleen uit het neutrale element bestaat. Het classificatiestelling stelt dat de lijst van eindige enkelvoudige groepen uit 18 aftelbare oneindige families bestaat, plus de 26 uitzonderingen die niet in het gevonden systematische patroon passen. Dit zijn de sporadische groepen. Deze staan ook bekend als de sporadische enkelvoudige groepen of de sporadische eindige groepen. Soms wordt de Tits-groep beschouwd als een sporadische groep (dit omdat de Tits-groep strikt genomen niet van het Lie type is), in dat geval telt men 27 sporadische groepen.

De classificatie van eindige enkelvoudige groepen wordt gegeven door de zogenaamde monsterstelling, voor het grootste deel gepubliceerd in de jaren 1955 - 1983, een enorm wiskundig werk van tienduizenden pagina's, verdeeld over zo'n 500 tijdschriftartikelen en van de hand van ca. 100 auteurs. Bij deze classificatie blijkt dat elke eindige enkelvoudige groep behoort tot een familie, of geheel op zichzelf staat. Deze opzichzelfstaande groepen worden sporadische groepen genoemd. Daarvan zijn er 26.

Vijf van de sporadische groepen werden ontdekt door Mathieu, de eerste in 1861; de laatste van de 26 werd gevonden in 1975. Van een aantal van deze groepen werd het bestaan voorspeld voorafgaand aan de constructie. De meeste groepen zijn genoemd naar de wiskundige(n) die het bestaan ervan het eerst voorspelde. In de onderstaande tabel staan alle 26 sporadische groepen:

De groep F1 is de grootste van de sporadische groepen en wordt monstergroep genoemd. De groep F2 noemt men wel baby monster. Van de 26 sporadische groepen kunnen er 20 worden opgevat als deel uitmakend van de monstergroep, als subgroep of subquotiënt. De zes uitzonderingen zijn J1, J3, J4, O'N, Ru and Ly. Deze zes groepen worden daarom soms paria's genoemd

Namen van de sporadische groepen[bewerken]

Voor al deze groepen heeft men de matrixrepresentatie over een eindig veld berekend.

Het eerste gebruik van de term "sporadische groep" is waarschijnlijk door Burnside in 1911, waar hij de Mathieugroepen becommentarieert: "Deze klaarblijkelijk sporadische enkelvoudige groepen zullen waarschijnlijk een nauwer onderzoek terugbetalen dan zij tot nu toe hebben ontvangen".

De sporadische groepen hebben een groot aantal subgroepen die niet sporadisch zijn. Deze worden niet getoond omdat het er te veel zijn.

Tabel van de 26 sporadische groepen[bewerken]

naam                ontdekker orde
benadering als product exact
M11 Mathieu 7.92e03 24×32×5×11 7.920
M12 Mathieu 9.50e04 26×33×5×11 95.040
M22 Mathieu 4.44e05 27×32×5×7×11 443.520
M23 Mathieu 1.02e07 27×32×5×7×11×23 10.200.960
M24 Mathieu 2.45e08 210×33×5×7×11×23 244.823.040
J1 Janko 1.76e05 23×3×5×7×11×19 175.560
J2 of HJ Janko 6.05e05 27×33×52×7 604.800
J3 Janko 5.02e07 27×35×5×17×19 50.232.960
HS Higman,Sims 4.44e07 29×32×53×7×11 44.352.000
Co1 of C1 Conway 4.16e18 221×39×54×72×11×13×23 4.157.776.806.543.360.000
Co2 of C2 Conway 4.23e13 218×36×53×7×11×23 42.305.421.312.000
Co3 of C3 Conway 4.96e11 210×37×53×7×11×23 495.766.656.000
He Held 4.03e09 210×33×52×73×17 4.030.387.200
Mc of McL McLaughlin 8.98e08 27×36×53×7×11 898.128.000
Suz Suzuki 4.48e11 213×37×52×7×11×13 448.345.497.600
M(22) of F22 Fischer 6.46e13 217×39×52×7×11×13 64.561.751.654.400
M(23) of F23 Fischer 4.09e18 218×313×52×7×11×13×17×23 4.089.470.473.293.004.800
M(24) of F24 Fischer 1.26e24 221×316×52×73×11×13×17×23×29 1.255.205.709.190.661.721.292.800
Ly Lyons 5.18e16 28×37×56×7×11×31×37×67 51.765.179.004.000.000
Ru Rudvalis 1.46e11 214×33×53×7×13×29 145.926.144.000
F2 of B Fischer 4.15e33 241×313×56×72×11×13×17×19×23×31×47 4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000
ON O’Nan 4.61e11 29×34×5×73×11×19×31 460.815.505.920
F3 of Th Thompson 9.07e16 215×310×53×72×13×19×31 90.745.943.887.872.000
F5 of HN Harada,Norton,Smith 2.73e14 214×36×56×7×11×19 273.030.912.000.000
F1 of M Fischer,Griess 8.08e53 246×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59×71 8,08017424794512875886459904961710757005754368 × 1053
J4 Janko 8.68e19 221×33×5×7×113×23×29×31×37×43 86.775.571.046.077.562.880

Referenties[bewerken]

  • Conway, J. H.: A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups (Een perfecte groep van orde 8.315.553.613.086.720.000 en de sporadische enkelvoudige groep), Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 61 (1968), 398-400.
  • Conway, J. H.: Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. (Atlas van de eindige groepen. Maximale deelgroepen en gewone karakteristieken voor enkelvoudige groepen) Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
  • Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups (De classificatie van de eindige enkelvoudige groepen) (volume 1), AMS, 1994 (volume 2), AMS.
  • Griess, Robert L.: "Twelve Sporadic Groups" (Twaalf sporadische groepen, Springer-Verlag, 1998.