Deelverzameling

Een venndiagram van de verzameling $A$ als deelverzameling van $B$.
$B$ omvat $A$.

In de verzamelingenleer is een deelverzameling van een gegeven verzameling een verzameling die geheel bevat is in (deel is van) de gegeven verzameling. Alle elementen van de deelverzameling zijn dus ook element van de gegeven verzameling. Als $A$ en $B$ verzamelingen zijn en ieder element van $A$ is ook een element van $B$, dan is $A$ een deelverzameling van $B$, genoteerd als:

$A\subseteq B$.

Formeel:

$A\subseteq B\Longleftrightarrow [\forall x:x\in A\Rightarrow x\in B]$.

Iedere verzameling is een deelverzameling van zichzelf, voor iedere verzameling $A$ geldt dus $A\subseteq A$.

De omgekeerde definitie is minder gebruikelijk. Uitgaande van dezelfde verzamelingen $A$ en $B$ zeggen we: $B$ omvat $A$, genoteerd als $B\supseteq A$.

Strikte deelverzameling

Een deelverzameling $A$ van $B$ die niet gelijk is aan $B$ wordt een echte, strikte of eigenlijke deelverzameling genoemd. Formeel: $A$ is een strikte deelverzameling van $B$ als:

$A\subseteq B\land A\neq B$

Verschillende schrijfwijzen

Als $A$ een strikte deelverzameling is van $B$, wordt dat door sommige auteurs genoteerd als:

$A\subset B$.

De meeste auteurs noteren $A\subset B$ als $A$ een willekeurige deelverzameling van $B$ is, dus eventueel $A=B$.

Er zijn dus twee notatiesystemen in omloop voor het aangeven van (echte) deelverzamelingen:

• Het oudste systeem gebruikt het symbool $\subset$ om elke deelverzameling aan te geven en kent het symbool $\subseteq$ niet.
• Een nieuwer systeem gebruikt het symbool $\subseteq$ voor een willekeurige deelverzameling en $\subset$ voor een echte deelverzameling.

Voorbeelden

• {1,2} ⊂ {1,2,3} - De verzameling {1,2} is een echte deelverzameling van {1,2,3}.
• {1,2,3} $\subseteq$ {1,2,3} - De verzameling {1,2,3} is een deelverzameling van zichzelf.
• De verzameling van natuurlijke getallen is een echte deelverzameling van de verzameling van de rationale getallen.
• De verzameling $\{x:x$ is een priemgetal groter dan 2000$\}$ is een echte deelverzameling van $\{x:x$ is een oneven getal groter dan 1000$\}$
• Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf, maar geen echte deelverzameling.
• De lege verzameling, geschreven als {} of als $\emptyset$, is een deelverzameling van elke verzameling. De lege verzameling is altijd een echte deelverzameling, behalve van zichzelf.
• Het begrip hyponiem in de taal komt overeen met het begrip deelverzameling.

Machtsverzameling

De verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling $A$ wordt de machtsverzameling van $A$ genoemd en genoteerd als ${\mathcal {P}}(A)$ of als $2^{A}$. Per definitie is dus:

${\mathcal {P}}(A)=\{B|B\subseteq A\}$.

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties