Suárez speelde in de jeugd en het tweede elftal van Celta de Vigo, tot hij op 23 mei 2011 tekende bij Manchester City. Hier begon hij op 25 september 2012 voor het eerst in de basiself van het eerste elftal, tijdens een wedstrijd in het toernooi om de League Cup tegen Aston Villa. Hij werd in de 57e minuut bij een stand van 1-1 gewisseld. Manchester City verloor die wedstrijd met 2-4. Tot een debuut in de Premier League kwam het niet.
Suárez tekende in augustus 2013 een vierjarig contract bij FC Barcelona. Hier ging hij in eerste instantie spelen in het tweede elftal.[1] De club verhuurde hem in juni 2014 voor twee seizoenen aan Sevilla FC. Hiervoor debuteerde Suárez in de Primera División. Hij won in zijn eerste jaar bij de club ook de UEFA Europa League.[2]
FC Barcelona, Sevilla en Villarreal CF kwamen in augustus 2015 tot een overeenkomst om Suárez' nog een jaar doorlopende huurovereenkomst per direct te beëindigen. Sevilla kreeg €4.000.000,- als vergoeding, waarna Villarreal hem transfervrij overnam van Barcelona en hem een contract tot medio 2019 gaf. Barcelona kreeg daarbij een optie om hem voor een gelimiteerde transfersom terug te mogen kopen. Daarvan maakte de club een jaar later gebruik. Suárez tekende in juli een contract tot medio 2020 bij FC Barcelona, dat daardoor €3.250.000,- overmaakte aan Villarreal. In zijn verbintenis werd een optie voor nog een seizoen opgenomen.[3]