Differentiaal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Als B \rightarrow A dan wordt \Delta x \rightarrow dx en \Delta y\rightarrow dy

Een differentiaal is in de wiskunde een toename (of afname), van een veranderlijke of een functiewaarde, die oneindig klein wordt.

Als men aan een veranderlijke een toename \ \Delta{x} toekent en men laat die toename tot nul naderen dan spreekt men van de differentiaal van x ( \ dx).

Als x verbonden is met y door een functie \ y=f(x) correspondeert met \ \Delta x een \ \Delta y. Met de differentiaal van x (\ dx) correspondeert de differentiaal van y (\ dy). Het quotiënt \ \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} is de afgeleide of de limiet van het differentiequotiënt.

Bijvoorbeeld als in de figuur B tot A nadert, nadert \ \Delta{x} tot 0, men spreekt dan van de differentiaal van x (\ dx), dan wordt het differentiequotiënt \frac{\Delta y}{\Delta x} de afgeleide.

Berekening[bewerken]

  • Voor een expliciete functie y=f(x) van één veranderlijke is de totale differentiaal gelijk aan:
dy \, = \, f'(x)dx \!
  • De totale differentiaal kan worden veralgemeend voor expliciete functies van meerdere veranderlijken, en bevat dan bijdragen van elk van de onafhankelijke veranderlijken. Zo is de totale differentiaal van de functie:
y \,= \, f(x_1,...,x_i,...,x_n) \!
gelijk aan:
dy \, = \, \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 \, + ... + \, \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i \, +...+ \, \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n
f(x,y,z,u) \, = \, 0 \!
differentiëert men eerste beide leden, zodat:
f'_x dx \,+ \, f'_y dy \,+ \,f'_z dz \,+ \,f'_u du \,= \, 0  \!
Dan kan men één van de veranderlijken als afhankelijk beschouwen van de drie andere. Kies bijboorbeeld u als afhankelijke variabele, dan volgt:
du \, = \, - \, \frac{f'_x}{f'_u}dx \, - \, \frac{f'_y}{f'_u}dy \, - \, \frac{f'_z}{f'_u}dz
  • Bij samengestelde functies kan de differentiaal op verschillende niveaus geschreven worden. Neem bijvoorbeeld:
z \, =\, f(x,y) \quad met \, : \, x \, = \, x(u,v) \quad ; \quad y \ = \,y(u,v) \!
Dan is:
dz \, = \, z'_x dx \, + \, z'_y dy \!
maar omdat ook op hun beurt
dx \, = \, x'_u du \, + \, x'_v dv \!
dy \, = \, y'_u du \, + \, y'_v dv \!
geldt eveneens:
dz \, = \,(z'_x \, x'_u \, + z'_y \, y'_u) \, du \, + \, (z'_x \, x'_v \, + z'_y \, y'_v) \, dv \!