Dimensie (lineaire algebra)

De dimensie van een vectorruimte $V$ is het aantal vectoren waaruit de basis van die vectorruimte is opgebouwd. Er kan namelijk worden bewezen dat iedere willekeurige basis van een vectorruimte uit hetzelfde aantal vectoren bestaat. Een minimaal voortbrengend deel of een maximaal vrij deel vormt steeds een basis. De dimensie van een vectorruimte $V$ over een (grond)lichaam $K$ wordt ook wel geschreven als $\dim _{K}(V)$ of als $[V:K].$

Een vectorruimte $V$ met een eindig stel voortbrengende vectoren heet eindigdimensionaal. Anders heet $V$ oneindig-dimensionaal.

Voorbeeld

De bekende euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{3}$ heeft een basis die bestaat uit de eenheidsvectoren: (1,0,0),(0,1,0) en (0,0,1).

De dimensie is dus 3: $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.$ Meer in het algemeen geldt dat $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n$ en nog algemener geldt $\dim _{F}(F^{n})=n$ voor enig lichaam (Belgisch: veld) $F.$

De complexe getallen $\mathbb {C}$ zijn zowel een reële als een complexe vectorruimte; er geldt $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ en $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ De dimensie van een vectorruimte is dus mede afhankelijk van het onderliggende lichaam.

De enige vectorruimte met dimensie 0 is {0}, de vectorruimte, die uitsluitend uit haar nul-element bestaat.

Oneindige dimensies

De dimensie van een vectorruimte $V$ is de kardinaliteit ("aantal" elementen, eventueel een bepaalde graad van oneindigheid) van de basis. Er kan namelijk worden bewezen dat iedere willekeurige basis van een vectorruimte dezelfde kardinaliteit heeft.

Zie ook

• Basis (lineaire algebra)
• Lineaire onafhankelijkheid

Andere dimensie begrippen

• Topologische dimensie wordt ook Lebesgue dekkingsdimensie genoemd
• Fractale dimensie is verwant aan het begrip Hausdorff-dimensie

Externe link

• MIT Linear Algebra college over onafhankelijkheid, basis, en dimensie (in het Engels) bij Google Video, van MIT OpenCourseWare