Discrete categorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de categorietheorie, een abstract deelgebied van de wiskunde, is een discrete categorie een categorie, waarvan de enige morfismen de identiteitsmorfismen zijn.

Het is de eenvoudigste soort van categorie. Specifiek noemt men een categorie C discreet als

\operatorname{hom}_C(X,X)=\{\operatorname{id}_X\} voor alle objecten X
\operatorname{hom}_C(X,Y)=\empty voor alle objecten XY

Sinds er door axioma's altijd identiteitsmorfismen tussen hetzelfde object gedefinieerd zijn, is het bovenstaande equivalent aan zeggen dat

|\operatorname{hom}_C(X,Y)|=\begin{cases} 
 1 & \mbox{als } X=Y
\\
 0 & \mbox{als } X\ne Y
\end{cases}

Enige klasse van objecten definieert duidelijk een discrete categorie, wanneer zij wordt uitgebreid met identiteitsafbeeldingen.

Enige deelcategorie van een discrete categorie is opnieuw discreet. Ook is een categorie dan en slechts dan discreet als al haar deelcategorieën volledig zijn.

The limiet van enige functor van een discrete categorie naar een andere categorie wordt een product genoemd, terwijl de colimiet een coproduct wordt genoemd.