Stelling van Stewart

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Formule van Stewart)
Naar navigatie springen Jump to search
De formule van Stewart

De stelling van Stewart is een formule die gebruikt kan worden om de lengte van een hoektransversaal in een driehoek te berekenen. Hij werd in 1746 door de Schotse wiskundige Matthew Stewart opgesteld, en is naar hem vernoemd alhoewel Archimedes hem vermoedelijk al kende. De stelling is te zien als een uitbreiding van de Stelling van Apollonius.

De stelling is door de Nederlander Oene Bottema gegeneraliseerd voor een viervlak.[1]

De formule[bewerken]

Gegeven een driehoek ABC met de gebruikelijke a, b en c als lengtes van de zijden. Laat M een punt zijn op AB met

, , en dus

Dan luidt de formule van Stewart dat

Bewijs[bewerken]

Men kan de formule afleiden met behulp van de cosinusregel. Nemen we dan geldt in de driehoeken PBC en PCA

Door x maal de eerste vergelijking op te tellen bij y maal de tweede vergelijking krijgen we de formule van Stewart.

Andere formulering[bewerken]

De stelling wordt vaak op een alternatieve manier geformulieerd, door uit te drukken als . Dan geldt:

,

of alternatief:

.