Greense functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een greense functie, genoemd naar de Britse wiskundige George Green, die deze functie rond 1830 ontwikkelde, is een bepaald type functie dat gebruikt wordt voor het oplossen van inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden.

Greense functies spelen een belangrijke rol in veel vraagstukken van elektromagnetisme, akoestica, elasticiteit en dies meer. Ze spelen zowel een rol in de theoretische uitwerking van in de praktijk voorkomende vraagstukken, als ook in oplossingsmethoden met behulp van numerieke wiskunde.

Achtergrond[bewerken]

De oplossingen van een stelsel van lineaire vergelijkingen met een singuliere matrix zijn van de vorm

waarin

en een speciale oplossing is van het stelsel die gevonden kan worden met behulp van een matrix waarvoor geldt:

.

Dan is namelijk voor

Naar analogie hiermee kan een zogenaamde particuliere oplossing van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking gevonden worden met behulp van de greense functie waarvoor geldt:

(NB. de differentiaalvergelijking wordt veel verkeerdelijk geschreven als L{f(x)} = g(x) in plaats van (Lf)(x) = g(x).)

Aangezien

en

,

volgt namelijk voor d.w.z.

dat

Het oplossen van de differentiaalvergelijking komt dus neer op het vinden van de bijbehorende greense functie. Een greense functie is niet altijd een echte functie, maar in het algemeen wel een distributie.

Definitie[bewerken]

De functie heet greense functie van de lineaire differentiaaloperator als:

Met behulp van deze greense functie kan een particuliere oplossing van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking

geschreven kan worden als:

.

Eigenwaarden[bewerken]

Als de differentiaaloperator een volledig stelsel eigenvectoren heeft, kan daarmee een greense functie gevonden worden. Voor het volledige stelsel eigenvectoren geldt namelijk:

Voor de greense functie kan dan genomen worden:

,

waarin de bij behorende eigenwaarde is.

Oplossingsmethoden[bewerken]

Een handige manier om de greense functie G(x,y) uit te rekenen is door G in te vullen in de differentiaaloperator.

Daardoor wordt het domein nu in tweeën opgesplitst: en In deze twee gebieden is de differentiaalvergelijking homogeen en (vaak) eenvoudiger op te lossen met de standaardtechnieken. Om de coëfficiënten te vinden is het nodig om de differentiaalvergelijking in zijn geheel een keer te integreren.

Het opleggen van de randvoorwaarden, continuïteit op en het verband uit de geïntegreerde differentiaalvergelijking levert de coëfficiënten op (die van afhangen).

Publicaties[bewerken]

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]