Inductieve verzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskunde is een inductieve verzameling een verzameling die de lege verzameling bevat en van elk element ook de opvolger, waarbij de opvolger van een verzameling de opvolgerverzameling is. Het oneindigheidsaxioma garandeert het bestaan van een inductieve verzameling.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een verzameling heet een inductieve verzameling, als voldaan is aan:

en voor alle geldt:

waarin de opvolger is van .

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Natuurlijke getallen[bewerken | brontekst bewerken]

Naar een idee van Richard Dedekind[1] worden de natuurlijke getallen gedefinieerd met behulp van inductieve verzamelingen.

Aangezien de doorsnede van inductieve verzamelingen weer inductief is, vormen de natuurlijke getallen de kleinste inductieve verzameling, bestaande uit de lege verzameling en de successieve opvolgers.

Transfiniete ordinaalgetallen[bewerken | brontekst bewerken]

De transfiniete ordinaalgetallen

vormen ook een inductieve verzameling.

Referenties[bewerken | brontekst bewerken]

  1. Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vieweg, Braunschweig 1888, § 6, 71.β