j-invariant

Kleins j-invariant in het complexe vlak

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is Kleins $j$-invariant, een modulaire functie $j(\tau )$ van een complexe variabele $\tau$, gedefinieerd op het bovenhalfvlak van de complexe getallen, die een belangrijke rol speelt in de theorie van elliptische functies en modulaire vormen. Het is de basisvorm waarvan andere modulaire functies als rationale functies zijn afgeleid.

Definitie

Zij $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} ;\Im (z)>0\}$ het bovenhalfvlak, dan is voor $\tau \in \mathbb {H}$ de $j$-invariant gedefinieerd als:

$j(\tau )=12^{3}\cdot {\frac {g_{2}^{3}(\tau )}{\Delta (\tau )}}$,

waarin $\Delta (\tau )=g_{2}^{3}(\tau )-27g_{3}^{2}(\tau )$ de zogenaamde modulaire discriminant is, met

$g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )$ en $g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )$

veelvouden van de eisensteinreeksen voor het rooster $\mathbb {Z} \tau +\mathbb {Z}$

$G_{4}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},\qquad G_{6}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6}$