Elliptische functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een elliptische functie is ruwweg een complexe transformatie die periodiek is in twee richtingen. Dergelijke functies worden beschreven in de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde. Elliptische functies kunnen vergeleken worden met de goniometrische functies, die slechts één periode hebben. De elliptische functies werden ontdekt als de inverse functies van de zogenaamde elliptische integralen.

Definitie[bewerken]

Een elliptische functie f is een meromorfe functie op het complexe vlak waarvoor een paar complexe getallen \omega_1 en \omega_2 bestaan die niet een reëel veelvoud van elkaar zijn (\omega_1/\omega_2\notin \R), zodat voor alle z \in \C geldt:

f(z+\omega_1)=f(z) en f(z+\omega_2)=f(z)

Bijgevolg is ook voor elk getal z \in \C en alle m,n \in \Z:

f(z + m\,\omega_1 + n\,\omega_2) = f(z)

Eigenschappen[bewerken]

De enige elliptische functies die ook holomorf zijn, zijn noodzakelijkerwijze constant. Dit volgt onmiddellijk uit de stelling van Liouville. De enige interessante elliptische functies zijn dus diegene met polen.

Voorbeelden[bewerken]

De Weierstraß \wp-functie van een gegeven rooster L is een van de bekendste elliptische functies. Samen met haar afgeleide, \wp', brengt ze het lichaam/veld van de elliptische functies op L voort.

Verwijzing[bewerken]