Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een jacobi-polynoom is een door Carl Jacobi bedachte polynoom die een uitbreiding betekent van de legendre-polynoom .
De jacobi-polynomen zijn gedefinieerd door:
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
Γ
(
α
+
n
+
1
)
n
!
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
∑
m
=
0
n
(
n
m
)
Γ
(
α
+
β
+
n
+
m
+
1
)
Γ
(
α
+
m
+
1
)
(
z
−
1
2
)
m
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}}
of in termen van de hypergeometrische functie
2
F
1
{\displaystyle _{2}F_{1}}
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
(
n
+
α
n
)
2
F
1
(
−
n
,
1
+
n
+
α
+
β
;
α
+
1
;
1
−
z
2
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right)}
De waarde voor
z
=
1
{\displaystyle z=1}
is
P
n
(
α
,
β
)
(
1
)
=
(
n
+
α
n
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}}
Zij hebben de symmetrierelatie
P
n
(
α
,
β
)
(
−
z
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
β
,
α
)
(
z
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)}
waaruit de waarde voor
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
wordt verkregen:
P
n
(
α
,
β
)
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
(
n
+
β
n
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}}
Zij vormen een orthogonaal stelsel op het interval
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
met betrekking tot de gewichtsfunctie:
w
(
x
)
=
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
{\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}
Dit betekent, dat
∫
−
1
1
w
(
x
)
P
m
(
α
,
β
)
(
x
)
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
=
2
α
+
β
+
1
2
n
+
α
+
β
+
1
Γ
(
n
+
α
+
1
)
Γ
(
n
+
β
+
1
)
Γ
(
n
+
α
+
β
+
1
)
n
!
δ
n
m
{\displaystyle \int _{-1}^{1}w(x)P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}
Waarbij
δ
{\displaystyle \delta }
de kroneckerdelta voorstelt, dus de elementen van de eenheidsmatrix .
We zien dus dat een legendre-polynoom
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
een bijzonder geval is van de jacobi-polynoom:
P
n
(
x
)
=
P
n
(
0
,
0
)
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)=P_{n}^{(0,0)}(x)}