Kwadraatafsplitsen

Kwadraatsplitsen is het herschrijven van een tweedegraadspolynoom die gegeven is in de vorm

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

tot de vorm

$f(x)=a(x+r)^{2}+s$

met

$r={\frac {b}{2a}}$ en $s=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

De methode van kwadraatafsplitsen wordt onder meer gebruikt bij

• het oplossen van een tweedegraadsvergelijking
• het tekenen van de grafiek van een kwadratische functie
• het integreren van een functie met behulp van een lineaire transformatie van de integratievariabele

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Los de volgende tweedegraadsvergelijking op:

$x^{2}+6x+5=0$

Splits een kwadraat af

$(x+3)^{2}-4=0$

of anders geschreven:

$(x+3)^{2}=4,$

met als oplossingen:

$x+3=\pm 2$

dus

$x=-5$ of $x=-1.$

Voorbeeld 2

Bepaal de integraal:

$I=\int {\frac {{\rm {d}}x}{x^{2}+2px+q}}$

Splits in de noemer een kwadraat af:

$I=\int {\frac {{\rm {d}}x}{(x+p)^{2}+q-p^{2}}}$

Substitueer $y=x+p$, dus $x=y-p$ en ${\rm {d}}x={\rm {d}}y$, en noem voor het gemak $a=q-p^{2}$. Dan wordt

$I=\int {\frac {{\rm {d}}y}{y^{2}+a}}$,

waardoor de integraal is teruggebracht tot een standaardintegraal met een bekende oplossing.