Lemma van Fatou

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

Het lemma van Fatou, genoemd naar Pierre Fatou, ook lemma van Fatou-Lebesgue genoemd, is een belangrijke hulpstelling in de wiskunde die laat zien dat voor een rij niet-negatieve meetbare functies de Lebesgue-integraal van de liminf van de rij begrensd wordt door de liminf van de Lebesgue-integralen van de functies.

Lemma[bewerken]

Laat voor iedere natuurlijke

een niet-negatieve meetbare functie zijn op de maatruimte Dan is de functie

meetbaar en er geldt:

Bewijs

Het hier gegeven bewijs maakt gebruik van de monotone-convergentiestelling. Noem

dan is de rij stijgend en puntsgewijs convergent naar

Als , geldt

dus ook

zodat

Met behulp van de monotone-convergentiestelling, volgt nu:

Voorbeeld[bewerken]

Dat de integraal en de liminf niet zomaar verwisseld mogen worden, blijkt onder meer uit het volgende voorbeeld waarin de ongelijkheid strikt geldt.

Neem voorzien van de borel-algebra en de Lebesgue-maat en zij

Dan convergeert de rij functies puntsgewijze naar 0, maar zijn alle integralen gelijk aan 1.

Zie ook[bewerken]