Lemma van Fatou

Het lemma van Fatou, genoemd naar Pierre Fatou, ook lemma van Fatou-Lebesgue genoemd, is een belangrijke hulpstelling in de wiskunde die laat zien dat voor een rij niet-negatieve meetbare functies de Lebesgue-integraal van de liminf van de rij begrensd wordt door de liminf van de Lebesgue-integralen van de functies.

Lemma

Laat voor iedere natuurlijke $n$

$f_{n}:S\to [0,\infty ]$

een niet-negatieve meetbare functie zijn op de maatruimte $(S,\Sigma ,\mu ).$ Dan is de functie

$f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)$

meetbaar en er geldt:

$\int _{S}f\,{\rm {d}}\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu ,$

Bewijs

Het hier gegeven bewijs maakt gebruik van de monotone-convergentiestelling. Noem

$g_{k}(x)=\inf _{n\geq k}f_{n}(x),$

dan is de rij $(g_{n})$ stijgend en puntsgewijs convergent naar $f.$

Als $k\leq n$, geldt

$g_{k}\leq f_{n},$ dus ook $\int _{S}g_{k}\,{\rm {d}}\mu \leq \int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu ,$

zodat

$\int _{S}g_{k}\,{\rm {d}}\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu .$

Met behulp van de monotone-convergentiestelling, volgt nu:

$\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,{\rm {d}}\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,{\rm {d}}\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu ~.$

Voorbeeld

Dat de integraal en de liminf niet zomaar verwisseld mogen worden, blijkt onder meer uit het volgende voorbeeld waarin de ongelijkheid strikt geldt.

Neem $S=[0,1],$ voorzien van de borel-algebra en de Lebesgue-maat en zij

$f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{voor }}0<x<{\tfrac {1}{n}},\\\ \\0&{\text{elders.}}\end{cases}}$

Dan convergeert de rij functies puntsgewijze naar 0, maar zijn alle integralen gelijk aan 1.

Zie ook

• Monotone-convergentiestelling
• Stelling van de gedomineerde convergentie