Lijst van goniometrische gelijkheden

De goniometrische basisfuncties zijn op diverse manieren aan elkaar gerelateerd. Dit artikel bevat lijsten met goniometrische gelijkheden of identiteiten.

Grondformule goniometrie

$\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$

Directe onderlinge relaties

${\begin{array}{rl}\tan x=&{\cfrac {\sin x}{\cos x}}\\\sec x=&{\cfrac {1}{\cos x}}\\\csc x=&{\cfrac {1}{\sin x}}\\\cot x=&{\cfrac {1}{\tan x}}={\cfrac {\cos x}{\sin x}}\\\end{array}}$

Periodiciteit, symmetrie en verschuivingen

${\begin{array}{rlrl}\sin x=&\sin(x+2\pi )=\sin(\pi -x)&\sin x=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\\cos x=&\cos(x+2\pi )=\cos(-x)&\cos x=&\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=&\sin \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)\\\tan x=&\tan(x+2\pi )=\tan(x+\pi )&\tan x=&\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\-\sin x=&\sin(x+\pi )=\sin(-x)&\\-\cos x=&\cos(x+\pi )=\cos(\pi -x)&\\-\tan x=&\tan(-x)=\tan(\pi -x)&\end{array}}$

Pythagoraïsche identiteiten (grondformules)

De volgende drie identiteiten zijn gebaseerd op de stelling van Pythagoras. De tweede en derde zijn af te leiden uit de bovenste formule door te delen door het kwadraat van de cosinus en respectievelijk het kwadraat van de sinus.

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$\tan ^{2}x+1={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$

$\cot ^{2}x+1={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x$

Hoeksom- en hoekverschil-identiteiten

${\begin{array}{rcl}\sin(x\pm y)&=&\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\\\cos(x\pm y)&=&\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\\\tan(x\pm y)&=&{\cfrac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}\\\cot(x\pm y)&=&{\cfrac {\cot(x)\cot(y)\mp 1}{\cot(x)\pm \cot(y)}}\\\end{array}}$

Dubbelehoek-identiteiten

${\begin{array}{rcl}\sin(2x)&=&2\sin(x)\cos(x)={\cfrac {2\tan(x)}{1+\tan ^{2}(x)}}\\\cos(2x)&=&\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)={\cfrac {1-\tan ^{2}(x)}{1+\tan ^{2}(x)}}\\\tan(2x)&=&{\cfrac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}\\\end{array}}$

Derdehoekregel

${\begin{array}{rcl}\sin(3x)&=&3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)\\\cos(3x)&=&4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)\\\tan(3x)&=&{\cfrac {3\tan(x)-\tan ^{3}(x)}{1-3\tan ^{2}(x)}}\end{array}}$

Machtsreductie-formules (formules van Carnot) (halveringsformules)

${\begin{array}{ccl}\cos ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{2}}(1+\cos(2x))\\\sin ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{2}}(1-\cos(2x))\\\sin ^{2}(x)\cos ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{8}}(1-\cos(4x))\end{array}}$

T-formules

Met de t-formules, zo genoemd vanwege de substitutie:

$t=\tan({\tfrac {1}{2}}x)$

zijn vergelijkingen met goniometrische identiteiten in $x$ op te lossen door ze eerst te schrijven als functie van $t$ en later weer terug te transformeren naar $x$. Er geldt:

$\tan(x)={\frac {2t}{1-t^{2}}}$

$\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

$\sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

Halvehoek-identiteiten

${\begin{array}{rcl}\cos \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&\pm \,{\sqrt {\cfrac {1+\cos x}{2}}}\\\sin \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&\pm \,{\sqrt {\cfrac {1-\cos x}{2}}}\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&{\cfrac {\sin({\tfrac {1}{2}}x)}{\cos({\tfrac {1}{2}}x)}}=\pm \,{\sqrt {\cfrac {1-\cos x}{1+\cos x}}}\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&{\cfrac {\sin x}{1+\cos x}}={\cfrac {1-\cos x}{\sin x}}={\cfrac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}{\tan x}}\\\end{array}}$

Som-naar-product-identiteiten (regels van Simpson)

${\begin{array}{ccrrr}\sin(x)+\sin(y)&=&2\sin {\cfrac {x+y}{2}}\cos {\cfrac {x-y}{2}}\\\sin(x)-\sin(y)&=&2\cos {\cfrac {x+y}{2}}\sin {\cfrac {x-y}{2}}\\\cos(x)+\cos(y)&=&2\cos {\cfrac {x+y}{2}}\cos {\cfrac {x-y}{2}}\\\cos(x)-\cos(y)&=&-2\sin {\cfrac {x+y}{2}}\sin {\cfrac {x-y}{2}}\\\end{array}}$

Deling van de eerste door de tweede formule geeft

${\dfrac {\sin(x)+\sin(y)}{\sin(x)-\sin(y)}}={\dfrac {\tan {\dfrac {x+y}{2}}}{\tan {\dfrac {x-y}{2}}}}$

Product-naar-som-identiteiten (omgekeerde regels van Simpson)

${\begin{array}{ccc}\cos(x)\cos(y)&=&{\cfrac {\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}\\\sin(x)\sin(y)&=&{\cfrac {\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}\\\sin(x)\cos(y)&=&{\cfrac {\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2}}\\\end{array}}$

Nog twee merkwaardige identiteiten

$\sin(x)+\sin(y)+\sin(z)-\sin(x+y+z)=4\sin {\dfrac {y+z}{2}}\sin {\dfrac {z+x}{2}}\sin {\dfrac {x+y}{2}}$

$\cos(x)+\cos(y)+\cos(z)+\cos(x+y+z)=4\cos {\dfrac {y+z}{2}}\cos {\dfrac {z+x}{2}}\cos {\dfrac {x+y}{2}}$