Basistransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Matrix van basisverandering)
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een basistransformatie een overgang van de ene basis op een andere. Een basistransformatie wordt beschreven door de matrix van basisverandering, een matrix die de coördinaten ten opzichte van de ene basis omrekent in de coördinaten ten opzichte van de andere basis.

Bij een actieve coördinatentransformatie blijven de coőrdinaten hetzelfde, en verandert het object (van plaats, grootte en/of vorm, enz.), bij een passieve veranderen de coördinaten en blijft het object hetzelfde. Een basistransformatie is dus een passieve coördinatentransformatie, en wel een lineaire.

Basistransformatie[bewerken]

Zij een vectorruimte met dimensie over het lichaam en en twee bases van . De vectoren uit kunnen uitgedrukt worden als lineaire combinatie van de vectoren in de basis

.

Daarin zijn de getallen de coördinaten van de basisvectoren uit ten opzichte van de basis .

Formeel kan de basistransformatie genoteerd worden als:

.

De relatie tussen de beide bases wordt dus beschreven door de matrix die als rijen de coördinaten heeft van de basisvectoren uit ten opzichte van de basis . Het is gebruikelijk de getransponeerde van deze matrix, die als kolommen de coördinaten heeft van de basivectoren uit ten opzichte van de basis te benoemen: .

.

Coördinatentransformatie[bewerken]

Een vector heeft ten opzichte van beide bases de voorstellingen:

.
Coördinatentransformatie

De relatie tussen de coördinaten ten opzichte van en de coördinaten ten opzichte van kan gevonden worden uit de relatie:

.

Omdat een vector maar op één manier als lineaire combinatie van basisvectoren kan worden geschreven, moet dus gelden dat:

Deze relatie is een lineaire afbeelding :

,

of:

Omgekeerd geldt:

een relatie die de (nieuwe) coördinaten ten opzichte van uitdrukt in de (oude) coördinaten ten opzichte van .

De beide afbeeldingen beschreven door de matrices en heten coördinatentransformaties, en elk van de beide matrices wordt wel matrix van basisverandering genoemd. De coördinatentransformatie kan uitgedrukt worden in de coördinatiseringen en :

.

Vergeleken met de basistransformatie

geldt dus:

.

Daaruit blijkt dat de basisvectoren getransformeerd worden met en de bijbehorende coördinaten met . Dit is niet verwonderlijk, immers, maakt men bijvoorbeeld de basisvectoren langer, dan zullen de bijbehorende coördinaten dienovereenkomstig kleiner worden. Om deze reden worden vectoren wel contravariant genoemd.

Tensornotatie[bewerken]

In tensornotatie met einsteinnotatie, waarbij een Latijnse letter met index voor iedere indexwaarde een vector voorstelt, samengevat:

Als

en

dan

Lineaire transformatie[bewerken]

Een lineaire transformatie van de lineaire ruimte wordt voor de basis gerepresenteerd door de matrix en voor de basis door de matrix . Er geldt: