Metriseerbaarheidsstelling van Urysohn

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, geeft de metriseerbaarheidsstelling van Urysohn de voorwaarden aan, waaronder een topologische ruimte $(X,{\mathcal {T}})$ metriseerbaar is, dat wil zeggen onder welke voorwaarden er een metriek op de onderliggende verzameling $X$ bestaat die de topologie ${\mathcal {T}}$ induceert. Het belangrijkste idee is zodanige voorwaarden aan $X$ te stellen, dat het mogelijk wordt $X$ in een metrische ruimte $Y$ in te bedden door $X$ door middel van een homeomorfisme te identificeren met een deelruimte van $Y$. De stelling is geformuleerd door de Russische wiskundige Pavel Urysohn.

Stelling

De stelling kan als volgt worden samengevat:
Voor een hausdorff-ruimte die voldoet aan het tweede aftelbaarheidsaxioma, zijn regulariteit, volledige regulariteit, normaliteit en metriseerbaarheid equivalente eigenschappen.

Er geldt zelfs:
Voor een $T_{1}$-ruimte $X$ zijn de volgende voorwaarden equivalent:

1. $X$ is een reguliere ruimte en voldoet aan het tweede aftelbaarheidsaxioma.
2. $X$ is een separabele en metriseerbare ruimte.
3. $X$ kan ingebed worden in de hilbert-kubus $[0,1]^{\aleph _{0}}$.

Externe bron

• (en) The Urysohn metrization theorem (Metriseerbaarheidsstelling van Urysohn), Philip Foth, 2005