Mitch Apau speelde in de jeugd bij AZ, AVV Zeeburgia en AFC Ajax voor hij in 2007 in de A-jeugd bij AFC Ajax kwam. In 2009 stapte hij over naar BV Veendam waar hij debuteerde in de Eerste divisie. In 2011 werd zijn contract verlengd tot 2014. Eind maart 2013 ging Veendam echter failliet. Apau trainde enige tijd bij FC Groningen, en op 31 mei werd bekend dat hij overging naar RKC Waalwijk. Met die club degradeerde hij op zondag 18 mei2014 uit de eredivisie na een nederlaag (over twee wedstrijden) tegen SBV Excelsior in de play-offs. Tussen 2014 en 2017 speelde Apau in België voor KVC Westerlo. Hierna vervolgde hij zijn loopbaan in Slovenië bij Olimpija Ljubljana. Met de club werd hij in het seizoen 2017/18 landskampioen en won hij de beker.