Open afbeeldingsstelling
In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is de open afbeeldingsstelling, ook wel bekend als de stelling van Banach-Schauder (vernoemd naar Stefan Banach en Juliusz Schauder), een fundamenteel resultaat, dat stelt dat als een continue lineaire operator tussen Banachruimten surjectief is, dat het dan een open afbeelding is.
Oorspronkelijke vorm
Banach[1] formuleert de stelling in termen van rijen in F-ruimten, dat zijn topologische vectorruimten waarvan de topologie wordt voortgebracht door een volledige tranlatie-invariante metriek. Elke Banachruimte is per definitie een F-ruimte.
- Als een continue lineaire afbeelding een F-ruimte surjectief afbeeldt op een F-ruimte en is een rij in die convergeert naar dan bestaat er een rij in die naar convergeert en zodanig dat voor elke geldt
Alternatieven en veralgemeningen
Een herformulering met open verzamelingen, hier in het geval van Banachruimten, luidt:[2]
- Zij een surjectieve continue lineaire afbeelding tussen Banachruimten, dan is het beeld onder van een open deel van steeds een open deel van
Het bewijs maakt gebruik van de categoriestelling van Baire, en de volledigheid van zowel X als Y is van essentieel belang voor deze stelling. De bewering in deze stelling gaat niet langer op als een van beide ruimten slechts een genormeerde vectorruimte is, maar is waar als zowel X als Y als Fréchet-ruimten worden genomen.
De rol van Baire-categorieën wordt uitdrukkelijker in de volgende veralgemening:[3][4]
- Als een continue lineaire afbeelding is van een F-ruimte naar een topologische vectorruimte en is van de tweede categorie in dan is is eveneens een F-ruimte en is een open afbeelding.
- ↑ (fr) Hoofdstuk 3, stelling 4 in Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires, Monografje Matematyczne 1, Warschau 1932.
- ↑ (en) Stelling 1 van paragraaf 3.2 in Carl L. DeVito, Functional Analysis, Pure and Applied Mathematics 81, Academic Press 1978.
- ↑ (en) Stelling 2.11 in Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973, ISBN 0-07-054236-8
- ↑ (en) Paragraaf 12.16.8 in Jean Dieudonné, Treatise on Analysis vol. II, Pure and Applied Mathematics 10-II, Academic Press 1976. Dieudonné eist wel op voorhand dat en allebei Fréchet-ruimten zijn.
Verdere Referentie
- (en) open mapping theorem op PlanetMath