Postulaat van Bertrand

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Het postulaat van Bertrand is een stelling in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, die zegt dat bij elk positief geheel getal altijd een priemgetal is tussen en het dubbele daarvan. Een sterkere uitspraak is dat voor er altijd een priemgetal is met .

Dit postulaat staat ook bekend als de stelling van Bertrand-Chebyshev of de stelling van Chebyshev. Joseph Bertrand formuleerde het als een vermoeden in 1845, en Chebyshev bewees het in 1850. Srinivasa Aaiyangar Ramanujan publiceerde in 1919 een eenvoudiger bewijs, dat de negentienjarige Erdős in 1931 verbeterde. Zijn bewijs beschouwt de binomiaalcoëfficiënt

Stel nu dat er een is waarvoor er geen priemgetal tussen en zit, dan geldt:

,
want
aangezien de grootste term in de som is.

Tezamen impliceren deze feiten dat

hetgeen onwaar is voor n groot genoeg. Voor kleinere n is het postulaat eenvoudig empirisch te controleren.

Het aantal priemgetallen tussen n en 2n, voor n = 1, 2, 3, ... is 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 3, ... (rij A060715 in OEIS).

Externe links[bewerken]