Lemniscaat van Bernoulli: verschil tussen versies
Uiterlijk
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 1: | Regel 1: | ||
De '''lemniscaat van Bernoulli''' ([[Grieks]]: |
De '''lemniscaat van Bernoulli''' ([[Grieks]]: λημνίσκος, ''band'') is een wiskundige [[kromme]]. Ze werd voorgesteld door [[Jakob Bernoulli]] in een artikel in zijn ''[[Acta Eruditorum]]'' (1694). Ze staat model voor het [[symbool]] voor [[oneindig]] (∞) in de wiskunde. |
||
==Definities== |
==Definities== |
||
[[Afbeelding:Lemniscaat.png|thumb|360px|Definitie a.d.h.v. meetkundige plaats]] |
[[Afbeelding:Lemniscaat.png|thumb|360px|Definitie a.d.h.v. meetkundige plaats]] |
||
*[[René Descartes|cartesiaanse]] vergelijking: |
*[[René Descartes|cartesiaanse]] vergelijking: |
||
:<math>\! (x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)</math> |
:<math>\!\, (x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)</math> |
||
*[[Poolcoördinaten|polaire]] vergelijking: |
*[[Poolcoördinaten|polaire]] vergelijking: |
||
:<math>r=a\sqrt{2\cos{2 \theta}}</math> |
:<math>r=a\sqrt{2\cos{2 \theta}}</math> |
||
Regel 11: | Regel 11: | ||
:<math>y(t)=\frac{a \sin(t)\cos(t)}{1+\sin(t)^2}</math> |
:<math>y(t)=\frac{a \sin(t)\cos(t)}{1+\sin(t)^2}</math> |
||
*[[meetkundige plaats]] van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste, vooraf bepaalde punten F<sub>1</sub> = (-a,0) en F<sub>2</sub> = (a,0) gelijk is aan a²: |
*[[meetkundige plaats]] van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste, vooraf bepaalde punten F<sub>1</sub> = (-a,0) en F<sub>2</sub> = (a,0) gelijk is aan a²: |
||
:<math>\! |P F_1|.|P F_2|=a^2</math> |
:<math>\!\, |P F_1|.|P F_2|=a^2</math> |
||
==Eigenschappen== |
==Eigenschappen== |
Versie van 6 feb 2009 00:36
De lemniscaat van Bernoulli (Grieks: λημνίσκος, band) is een wiskundige kromme. Ze werd voorgesteld door Jakob Bernoulli in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694). Ze staat model voor het symbool voor oneindig (∞) in de wiskunde.
Definities
- cartesiaanse vergelijking:
- polaire vergelijking:
- parametervergelijking met parameter t (eenvoudig uit de polaire vergelijking af te leiden):
- meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste, vooraf bepaalde punten F1 = (-a,0) en F2 = (a,0) gelijk is aan a²:
Eigenschappen
- De bovengedefinieerde lemniscaat heeft een dubbelpunt in de oorsprong.
- De oppervlakte van elk de beide door de bovengedefinieerde lemniscaat omsloten gebieden is a2.