Frequentierespons

De frequentierespons of -karakteristiek is het frequentiespectrum van een systeem als reactie op een signaal..

Bij lineaire systemen

De frequentierespons is de Fouriertransformatie van de impulsresponsie van een LTC-systeem. Hij kan ook bekomen worden door in de systeemfunctie (overdrachtsfunctie, transferfunctie) de complexe variabale s van Laplace te beperken tot zijn imaginair deel j$\omega$. De frequentierespons is zelf ook een complexe functie van de hoekfrequentie $\omega$ en wordt genoteerd

$H(j\omega )\!$

Hij kan worden opgesplitst in de amplituderespons $A(\omega )$, en de faserespons $\phi (\omega )$:

$H(j\omega )=A(\omega ).e^{j\phi (\omega )}\!$

Het concrete gebruik van de frequentierespons ligt in het feit dat hij op een snelle manier toelaat te zien hoe een LTC-systeem reageert op een sinusvormige invoer. Een lineair systeem kan nooit de frequentie wijzigen van een sinus, maar wel diens amplitude wijzigen zoals bepaald door de amplituderespons, en diens fase zoals bepaald door de faserespons:

Op een invoer

$x(t)=Ksin(\omega _{o}t+\phi _{o})\!$

volgt een uitvoer

$y(t)=A(\omega _{o})Ksin(\omega _{o}t+\phi _{o}+\phi (\omega _{o}))\!$

Toepassing : de frequentierespons bij luidsprekers

De frequentierespons van luidsprekers kan algemeen voor elk type luidspreker beschreven worden aan de hand van de onderstaande grafiek.

Om de werking te verklaren wordt onderstaand schema gebruikt. Er worden elektrische en mechanische componenten in gebruikt, die met de juiste omrekeningsfactor herleid kunnen worden.

Er worden de volgende SI-eenheden en symbolen gebruikt, in de luidsprekertechniek worden veelal iets afwijkende symbolen gebruikt, zie Thiele/Small.

• A - Effectief oppervlak van de conus of membraan in m² of cm²/10.000.
• c - Geluidssnelheid: 346 m/s bij 25 °C op zeeniveau.
• ρ - Dichtheid van lucht: 1,184 kg/m³ bij 25 °C op zeeniveau.
• m_a - Akoestische massa van de trillende lucht in kg of gram/1000.

$m_{\rm {a}}=\rho \cdot {\sqrt {\frac {A^{3}}{\pi }}}$

• m_m - Mechanische massa van het ophangsysteem in kg.
• m_t - Totale (m_a + m_m) massa van het ophangsysteem in kg.
• C_m - Compliantie van het ophangsysteem (reciproke van de stijfheid) in m/N.
• R_a - Akoestische weerstand van de trillende lucht in beide richtingen in N·s/m of kg/s.

$R_{\rm {a}}=2\cdot \rho \cdot \ c\cdot A$

• R_e - Gelijkstroomweerstand in Ω.
• R_m - Mechanische weerstand van het ophangsysteem in N·s/m of kg/s.
• f_l of f_s of f_o - Resonantiefrequentie van de luidspreker in Hz.

$f_{\rm {l}}={\frac {1}{2\pi \cdot {\sqrt {C_{\rm {m}}\cdot m_{\rm {t}}}}}}$

• f_h - Hoogaf-frequentie van de luidspreker in Hz.

$f_{\rm {h}}={\frac {R_{\rm {a}}\cdot m_{\rm {t}}}{2\pi \cdot m_{\rm {a}}\cdot m_{\rm {m}}}}$

• F_a - Akoestiche kracht (geluid) van de luidspreker in N.

$F_{\rm {a}}={\frac {F_{\rm {m}}\cdot m_{\rm {a}}}{m_{\rm {t}}}}$

• d - Uitwijking van de conus of membraan in m of mm/1000.
• F_m(d,f) - Mechanische kracht van de luidspreker als functie van d en de frequentie f van het ingangssignaal.

$F_{\rm {m}}(d,f)={\frac {d}{C_{\rm {m}}}}\cdot \left({\frac {f}{f_{\rm {l}}}}\right)^{2}$

• F_a(d,f) - Akoestische kracht van de luidspreker als functie van d en f.

$F_{\rm {a}}(d,f)=m_{\rm {a}}\cdot d\cdot (2\pi \cdot f)^{2}$

• P_a(d,f) - Akoestisch vermogen in W.

$P_{\rm {a}}(d,f)={\frac {F_{\rm {a}}^{2}}{R_{\rm {a}}}}={\frac {\rho }{2\pi \cdot c}}\cdot (A\cdot d)^{2}\cdot (2\pi \cdot f)^{4}$

• d_max - Maximale lineaire uitwijking (amplitude) van de conus of membraan.
• P_max - Maximaal effectief akoestisch vermogen in W.

$P_{\rm {max}}={\frac {(2\pi )^{3}\cdot \rho }{2\cdot c}}\cdot (A\cdot d_{\rm {max}})^{2}\cdot f^{4}=0,424\cdot (A\cdot d_{\rm {max}})^{2}\cdot f^{4}$

• SPL - Sound Pressure Level, geluidsdruk op een halve bol met straal r t.o.v. de gehoordrempel van 1 pW/m² in dB.

$SPL=120+10\cdot log\left({\frac {P_{\rm {a}}}{2\pi \cdot r^{2}}}\right)$

• SPL_max - Maximale geluidsdruk op een afstand r recht voor de luidspreker.

$SPL_{\rm {max}}=40\cdot log(f)-20\cdot log(r)+MTB$

• MTB - Maximum Tremble (trilling) in dB.

$MTB=108,3+20\cdot log(A\cdot d_{\rm {max}})$

• Q_m – Mechanische Q van de luidspreker bij f_l.

$Q_{\rm {m}}={\frac {1}{R_{\rm {m}}}}\cdot {\sqrt {\frac {m_{\rm {t}}}{C_{\rm {m}}}}}={\frac {2\pi \cdot f_{\rm {l}}\cdot m_{\rm {t}}}{R_{\rm {m}}}}={\frac {1}{2\pi \cdot f_{\rm {l}}\cdot R_{\rm {m}}\cdot C_{\rm {m}}}}$

• Q_t – Totale Q van de luidspreker bij f_l.

$Q_{\rm {t}}={\frac {Q_{\rm {m}}\cdot Q_{\rm {e}}}{Q_{\rm {m}}+Q_{\rm {e}}}}$

Elektro-Dynamische Luidspreker (EDL)

• Bl - Krachtfactor: het product van de magnetische fluxdichtheid en de lengte van de wikkeldraad van de spreekspoel in T.m of N/A.
• i - Elektrische ingangsstroom in A.

$F_{\rm {m}}=Bl\cdot i$

• Q_e – Elektrische Q bij f_l.

$Q_{\rm {e}}={\frac {2\pi \cdot f_{\rm {l}}\cdot m_{\rm {t}}\cdot R_{\rm {e}}}{(Bl)^{2}}}$

• V_a – Luchtvolume met dezelfde akoestische compliantie als het ophangsysteem in m³ of liter/1000.

$V_{\rm {a}}=\rho \cdot c^{2}\cdot A^{2}\cdot C_{\rm {m}}$

Elektro-Statische Luidspreker (ESL)

• d_o - Afstand van membraan tot stator in m of mm/1000.
• ε - Diëlektrische constante van lucht: 8,85 pF/m.
• n - Step-up factor van de ingangstransformator.
• v - Elektrische ingangsspanning in V.
• V_p- Elektrische polarisatie-spanning van het membraan t.o.v. de stators in V.

$F_{\rm {m}}={\frac {\epsilon \cdot \ A\cdot \ V_{\rm {p}}}{d_{\rm {o}}^{2}}}\cdot n\cdot v$