Stein-variëteit

In de theorie van de functies van meer complexe variabelen en complexe variëteiten, deelgebieden van de wiskunde, is een Stein-variëteit, een complexe deelvariëteit van de vectorruimte, dus van een complexe ruimte, van meer complexe dimensies. De naam komt van de Duitse wiskundige Karl Stein.

Definitie

Een complexe variëteit $X$ van complexe dimensie $n$ wordt een Stein-variëteit genoemd als aan de onderstaande condities wordt voldaan:

• $X$ is holomorf convex, dat wil zeggen dat elke compacte deelverzameling $K\subset X$, de zogenoemde holomorfe convexe omhulling,

${\bar {K}}=\{z\in X:|f(z)|\leq \sup _{K}|f|\forall f\in {\mathcal {O}}(X)\},$

opnieuw een compacte deelverzameling van $X$ is. Hier duidt ${\mathcal {O}}(X)$ de ring van holomorfe functies op $X$ aan.

• $X$ is holomorf scheidbaar, dat wil zeggen dat als $x\neq y$ twee punten in $X$ zijn, er dan een holomorfe functie

$f\in {\mathcal {O}}(X)$

bestaat, zodanig dat $f(x)\neq f(y).$

Literatuur

• (en) Lars Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, 1966, herdruk in 1973 en 1990. North-Holland Publishing Co., Amsterdam ISBN 978-0-444-88446-6