Stelling van Stokes

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De stelling van Stokes toegepast op een oppervlak \Sigma, met rand \partial \Sigma, en oriëntatie van het oppervlak (oftewel normaalvector) \mathbf{n}.\,

De stelling van Stokes is een wiskundige stelling, die zegt dat de kringintegraal van het scalair product van een vectorveld \vec{F} met een infinitesimale verandering van de plaatsvector d\vec{r} gelijk is aan de oppervlakteintegraal van de normaalcomponenten van de rotatie van \vec{F}. Deze stelling is ontwikkeld door George Gabriel Stokes, een wiskundige aan de Universiteit van Cambridge die in de 19e eeuw leefde.

De stelling heeft belangrijke toepassingen in de vloeistofdynamica en in het elektromagnetisme, zie de Vergelijkingen van Maxwell.

Stelling van Stokes:

 \int\int_{\Sigma} \left( \nabla \times \vec{F} \right) \cdot \vec{n}\; \text{d}A = \oint_{\partial\Sigma} \vec{F} \cdot \text{d} \vec{r}.

Hierbij zijn:

  • \vec{F} is het beschouwde vectorveld, een functie van de driedimensionale coördinaten (bijvoorbeeld x, y en z),
  • Σ is het (mogelijkerwijs gekromde) oppervlak waarover geïntegreerd wordt,
  • ∂Σ is de rand van het oppervlak Σ,
  • \nabla is de gradiëntoperator,
  • × is het uitwendig product,
  • · is het inwendig product,
  • \vec{n} de eenheidsnormaalvector op het oppervlak Σ,
  • d\vec{r} de infinitesimale verandering van de plaatsvector \vec{r} langs de rand ∂Σ en
  • dA is een infinitesimaal oppervlakte–element.

Om het correcte teken te krijgen is het belangrijk dat de rand ∂Σ een positieve oriëntatie heeft: dit houdt in dat de verandering van de plaatsvector d\vec{r} langs de rand tegen de wijzers van de klok in verloopt, als de normaalvector \vec{n} op het oppervlak Σ naar de kijker toe wijst. Dit komt overeen met de rechterhandregel.

Stelling van Green[bewerken]

De Stelling van Green komt overeen met het speciale geval waarin \vec{F} niet van z afhangt en geen z-component heeft, en/of Σ in het XY-vlak ligt.

Intuïtieve voorstelling[bewerken]

Stokes-patch.png

De afbeelding hiernaast geeft een simpele situatie weer waarmee de wet makkelijker te doorzien is. Dit 2D voorbeeld laat zien dat het optellen van de vier interne rotaties overeenkomt met het optellen van de vectoren die zich aan de rand bevinden. Immers, de paren interne vectoren heffen elkaar op. Wat overblijft zijn dus de vectoren langs de rand.