Stelling van Green

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De stelling van Green is een wiskundige stelling die een verband legt tussen een kringintegraal over een enkelvoudige gesloten kromme in twee dimensies en een dubbelintegraal over het oppervlak dat door de kromme omsloten wordt. De stelling is genoemd naar de Britse natuurkundige George Green en vindt in het bijzonder toepassing in de natuurkunde.

De divergentiestelling komt in twee dimensies overeen met de stelling van Green en die komt in twee dimensies weer overeen met de stelling van Stokes.

Stelling[bewerken | brontekst bewerken]

Als en continue functies zijn in een normaal gebied dat volledig behoort tot een open gebied in twee dimensies met continue partiële afgeleiden en , en wordt begrensd door een stuksgewijs gladde, enkelvoudige gesloten kromme , doorlopen in tegenwijzerzin,[1] dan geldt:

Bewijs[bewerken | brontekst bewerken]

Green's-theorem-simple-region.png

Hier volgt een bewijs voor het geval dat een gebied is zoals in nevenstaande figuur is aangegeven, dus onder en boven begrensd door continue krommen en , en links en rechts door rechte lijnen en .

Beschrijf het gebied door:

,

waarin en continue functies zijn. We berekenen:

Voor de integraal van over vinden we:

Uit deze twee resultaten volgt:

Op dezelfde manier kan men voor afleiden dat:

Uit deze laatste twee volgt de stelling.

Oppervlakte[bewerken | brontekst bewerken]

Met en en met en krijgen we voor de oppervlakte binnen de contour , doorlopen in de richting tegen de klok in:

Een interessante technische toepassing is de planimeter, een meetinstrument om een oppervlakte te bepalen door het aftasten van de omtrek.