Stelling van Green

De stelling van Green is een wiskundige stelling die een verband legt tussen een kringintegraal over een enkelvoudige gesloten curve in twee dimensies en een dubbelintegraal over het oppervlak dat door de curve omsloten wordt. De stelling, die in het bijzonder toepassing vindt in de natuurkunde, is een speciaal geval in twee dimensies van de stelling van Stokes.

De stelling is genoemd naar de Britse natuurkundige George Green

Stelling

Als P en Q continue functies zijn in een normaal gebied D dat volledig behoort tot een open gebied in twee dimensies met continue partiële afgeleiden ${\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}$${\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}$ en ${\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}$${\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}$, en D wordt begrensd door een stuksgewijs gladde, enkelvoudige gesloten curve C (doorlopen in tegenwijzerzin)), dan geldt:

$\iint _{D}\left({\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}\right){\rm {d}}x{\rm {d}}y=\oint _{C}\left({P(x,y)}{\rm {d}}x+Q(x,y){\rm {d}}y\right)$$\iint _{D}\left({\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}\right){\rm {d}}x{\rm {d}}y=\oint _{C}\left({P(x,y)}{\rm {d}}x+Q(x,y){\rm {d}}y\right)$

Bewijs

Hier volgt een bewijs voor het geval dat D een gebied is zoals in nevenstaande figuur is aangegeven, dus onder en boven begrensd door continue curven C₁ en C₃, en links en rechts door rechte lijnen C₂ en C₄.

Beschrijf het gebied door:

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\},$$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\},$

waarin g₁ and g₂ continue functies zijn. We berekenen:

$\iint _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}dxdy$$\iint _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}dxdy$	$=\int _{a}^{b}\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial P}{\partial y}}\ dydx$$=\int _{a}^{b}\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial P}{\partial y}}\ dydx$
	$=\int _{a}^{b}{\Big \{}P(x,g_{2}(x))-P(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx$$=\int _{a}^{b}{\Big \{}P(x,g_{2}(x))-P(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx$

Voor de integraal van P over C vinden we:

$\int _{C}P\,dx$$\int _{C}P\,dx$	$=\int _{C_{1}}P\ dx+\int _{C_{2}}P\ dx+\int _{C_{3}}P\ dx+\int _{C_{4}}P\ dx$$=\int _{C_{1}}P\ dx+\int _{C_{2}}P\ dx+\int _{C_{3}}P\ dx+\int _{C_{4}}P\ dx$
	$=-\int _{a}^{b}P(x,g_{2}(x))\,dx+\int _{a}^{b}P(x,g_{1}(x))\,dx$$=-\int _{a}^{b}P(x,g_{2}(x))\,dx+\int _{a}^{b}P(x,g_{1}(x))\,dx$

Uit deze twee resultaten volgt:

$\int _{C}P\ dx=-\iint _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}dxdy.$$\int _{C}P\ dx=-\iint _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}dxdy.$

Op analoge wijze kunnen we voor Q afleiden dat:

$\int _{C}Q\ dy=\iint _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}dxdy.$$\int _{C}Q\ dy=\iint _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}dxdy.$

Uit deze laatste twee volgt de stelling.

Oppervlakte

Met P = 0 en Q = x en met P = -y en Q = 0 krijgen we voor de oppervlakte A binnen de contour C (doorlopen in de richting tegen de klok in):

$A=\oint _{C}x{\rm {d}}y=-\oint _{C}y{\rm {d}}x$$A=\oint _{C}x{\rm {d}}y=-\oint _{C}y{\rm {d}}x$

Een interessante technische toepassing is de planimeter, een meetinstrument om een oppervlakte te bepalen door het aftasten van de omtrek.

Zie ook

• Divergentiestelling
• Planimeter

Bronnen, noten en/of referenties