Stelling van Taylor

De stelling van Taylor, in 1715 geformuleerd door Brook Taylor, geeft aan hoe we een functie in de omgeving van een punt door middel van een polynoom kunnen benaderen. De coëfficiënten van de polynoom worden uit de afgeleiden van de functie in dat punt bepaald.

Als een functie $f$ voldoende vaak differentieerbaar is in een omgeving van het punt $x_{0},$ kan de functiewaarde $f(x)$ in een punt $x$ uit die omgeving successievelijk worden benaderd door de polynomen:

f(x_{0}),

f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),

f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}

en zo verder:

f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+\ldots +{\tfrac {1}{n!}}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}=

=\sum _{k=0}^{n}{\tfrac {1}{k!}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}

Deze laatste som heet de $n$ -de taylorpolynoom van $f$ in $x_{0}$ . Het verschil tussen $f(x)$ en de benaderende $n$ -de taylorpolynoom heet de restterm. De stelling van Taylor doet een uitspraak over de nauwkeurigheid van de benadering, door een schatting te geven van de restterm.

De stelling is er in verschillende versies, met meer of minder aangescherpte voorwaarden en onderscheiden vormen van de restterm.

Stelling

De meest basale vorm van de stelling is de volgende. Laat de functie $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $n$ keer differentieerbaar zijn in het punt $x_{0}$ . Dan is er een functie $h_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ zodanig dat

\lim _{x\to x_{0}}h_{n}(x)=0

en

f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\tfrac {1}{k!}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}=h_{n}(x)(x-x_{0})^{n}

Deze vorm van de restterm wordt de Peano-vorm genoemd.

Onder sterkere regulariteitsvoorwaarden zijn er andere vormen van de stelling met meer expliciete uitdrukkingen voor de restterm. Een daarvan is de volgende.

Als $f$ een $n+1$ keer continu differentieerbare functie is, dat wil zeggen differentieerbaar met continue afgeleide, op het interval $[a,b],$ is er voor elke $x_{0},x\in (a,b)$ een getal $\theta$ tussen $x_{0}$ en $x,$ zodanig dat

R_{n}(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}

De stelling kan ook zo geformuleerd worden dat bij elk getal $0<p\leq n+1$ een getal $\theta$ bestaat, zo, dat de restterm van de volgende algemene vorm is (restterm van Schlömilch):

R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{p\ n!}}(x-\theta )^{n+1-p}(x-x_{0})^{p}

.

Voor $p=1$ is dit de restterm van Cauchy:

R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{n!}}(x-\theta )^{n}(x-x_{0})

Voor $p=n+1$ is dit de in de stelling genoemde restterm van Lagrange.

Bewijs

De stelling berust op toepassing van de middelwaardestelling op de restterm:

R_{n}(x)=\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t

.

Toepassing

In sommige gevallen, en zeker in praktische berekeningen, bestaat een benadering van een functie(waarde) uit een eindig aantal termen als boven. Als de functie $f$ voldoende vaak differentieerbaar is, geldt:

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x),

waarin men $n$ zo kan kiezen dat de restterm voldoende klein is.

Voorbeelden

Een benadering van $e^{x}$ wordt verkregen door in de bovenstaande formule $x_{0}=0$ te stellen, en te gebruiken dat de afgeleide van $e^{x}$ gelijk is aan zichzelf, en voor $x=0$ gelijk is aan 1: