Struve-functie

In de wiskunde is de Struve-functie een speciale functie die in 1882 werd geïntroduceerd door de astronoom Hermann Struve tijdens zijn theoretisch onderzoek van diffractieverschijnselen in de optica. De functie heeft inmiddels toepassingen gevonden in de wiskunde, de optica, de hydrodynamica en de akoestiek. De functie wordt meestal voorgesteld door $H_{\nu }(z)$ waarin $\nu$ de orde aangeeft. De Struve-functie beschrijft oplossingen van de Besselse differentiaalvergelijking.

Definitie

Verloop van de functie $H_{\nu }(z)$ voor $\nu =0,1,2,3,4,5$

De Struve-functie $H_{\nu }(z)$ van de eerste soort is een particuliere oplossing van de volgende inhomogene besselse differentiaalvergelijking met speciaal tweede lid

$z^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}y}{{\rm {d}}z^{2}}}+z{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}z}}+\left(z^{2}-\nu ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}$

waarin $\Gamma$ de Gammafunctie voorstelt. Het complexe getal $\nu$ geeft de orde aan van de Struve-functie en is meestal een geheel getal.

Reeksontwikkeling

Struve-functies, aangeduid als $H_{\nu }(z)$, kunnen weergegeven worden door de volgende machtreeksen.

$H_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k+\nu +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k+\nu +1}$

waarin $\Gamma (x)$ de Gammafunctie is.

$H_{0}(z)={\frac {2}{\pi }}\left(z-{\frac {z^{3}}{1^{2}\cdot 3^{2}}}+{\frac {z^{5}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}}-\ldots \right)$

$H_{1}(z)={\frac {2}{\pi }}\left({\frac {z^{2}}{1^{2}\cdot 3}}-{\frac {z^{4}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}}+{\frac {z^{6}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}}-\ldots \right)$

Integraalvoorstelling

Struve-functie kunnen ook door een integraal voorgesteld worden voor $\Re (\nu )>-1/2$

$H_{\nu }(z)={\frac {2\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(z\cos \theta )\sin ^{2\nu }(\theta ){\rm {d}}\theta .$

Een andere voorstelling krijgt men door de substitutie $t=\cos(\theta )$.

$H_{\nu }(z)={\frac {2\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\sin \left(zt\right){\rm {d}}t$

Recursieformules

De Struve functie voldoet aan de volgende recursierelaties:

${\begin{aligned}H_{\nu -1}(z)+H_{\nu +1}(z)&={\frac {2\nu }{z}}H_{\nu }(z)+{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {3}{2}}\right)}},\\H_{\nu -1}(z)-H_{\nu +1}(z)&=2{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}H_{\nu }(z)-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {3}{2}}\right)}},\end{aligned}}$

${\frac {{\rm {d}}H_{0}}{{\rm {d}}z}}={\tfrac {1}{2}}\pi -H_{1}$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z^{\nu }H_{\nu }\right)=z^{\nu }H_{\nu -1}$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z^{-\nu }H_{\nu }\right)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\nu }\Gamma \left(\nu +{\frac {3}{2}}\right)}}-z^{-\nu }H_{\nu +1}(z)$

Integralen

Uit de vierde recursieformule volgt onmiddellijk de integraal:

$\int _{0}^{a}z\,H_{0}(z)\,{\rm {d}}z=aH_{1}(a)$.

$\int _{0}^{\infty }t^{-1}H_{0}(t)\,{\rm {d}}t={\tfrac {1}{2}}\pi$

De volgende integraal wordt ook wel de Struve-integraal genoemd:

${\frac {4}{\pi }}\int _{z}^{\infty }t^{-2}\,H_{1}(t)\,{\rm {d}}t={\frac {2}{\pi z}}H_{1}(z)+{\frac {2}{\pi }}\int _{z}^{\infty }t^{-1}H_{0}(t)\,{\rm {d}}t$

${\frac {2}{\pi }}\int _{z}^{\infty }t^{-1}H_{0}(t)\,{\rm {d}}t=1-{\frac {4}{\pi ^{2}}}\left(z-{\frac {z^{3}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3}}+{\frac {z^{5}}{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 5}}-\ldots \right)$

Asymptotische ontwikkeling

Voor kleine $z$ gebruikt men de gegeven bovenstaande machtreeksontwikkeling.

Voor grote $z$ verkrijgt men:

$H_{\nu }(z)-Y_{\nu }(z)\to {\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu -1}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}+O\left(\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{\nu -3}\right),$

waarin $Y_{\nu }(z)$ de besselfunctie van de tweede soort van de orde $\nu$ is. Alleen de eerste term van deze expansie is weergegeven.

Benaderende formules

In de wetenschappelijke literatuur vindt men vele benaderingsformules voor de Bessel- en de Struve-functies. De meeste daarvan splitsen het gebied van $z$ op in een gebied waar $z$ klein is en een gebied waar $z$ groot is. Zo publiceerde J. Newman nauwkeurige veeltermbenaderingen voor $z<3$ en voor $z>3$. Een effectieve benadering voor $H_{1}$, die geldig is voor alle waarden van $z\geq 0$ met een maximale absolute fout van 0,0049, wordt gegeven door de volgende uitdrukking:

$H_{1}(z)\approx {\frac {2}{\pi }}-J_{0}(z)+\left({\frac {16}{\pi }}-5\right){\frac {\sin z}{z}}+\left(12-{\frac {36}{\pi }}\right){\frac {1-\cos z}{z^{2}}}$

waarin $J_{0}(z)$ de besselfunctie van de eerste soort en orde 0 is. Met behulp van de vierde recursieformule kan men dan een benadering voor $H_{0}$ krijgen met een maximale absolute fout van 0,0063. Door gebruik te maken van een soortgelijke maar verbeterde methode kon de nauwkeurigheid voor $H_{0}$ en $H_{1}$ opgevoerd worden tot een maximale absolute fout van respectievelijk 0,00125 en 0,00185. De verbeterde nauwkeurigheid opent de weg naar nauwkeuriger benaderingen voor de hogere orde Struve-functies $H_{\nu }(z)$ met $\nu =2,3,\ldots$ en dit met behulp van de eerste recursieformule.

Bronnen, noten en/of referenties

Literatuur

Milton Abramowitz & Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York; isbn 978-0-486-61272-0 1972.

Externe link

• Struve functies op the Wolfram functies website.
• Struve functions and related functions