Besselfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Besselfuncties zijn oplossingen van de besselse differentiaalvergelijking. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom Friedrich Wilhelm Bessel, die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Besselfuncties worden onderscheiden naar besselfuncties van de eerste soort en van de tweede soort. De besselfunctie van de eerste soort van de orde a wordt genoteerd als J_a, en die van de tweede soort van de orde a als Y_a.

De besselvergelijking kan echter ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor de vergelijkingen van Laplace en van Helmholtz, wanneer daarbij cilindercoördinaten worden gebruikt. Daardoor zijn besselfuncties vooral van belang bij veel vraagstukken uit de wiskundige natuurkunde, zoals vragen omtrent golfvoortplanting, statische spanning enzovoort. Enkele voorbeelden zijn:

Definitie[bewerken]

Besselfuncties zijn oplossingen y(x) van de besselse differentiaalvergelijking:

x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-n^2)y(x)=0\;

Oplossingen zijn y(x)=J_a(x) en y(x)=Y_a(x).

Voor a\notin \Z zijn J_a en J_{-a} lineair onafhankelijk, zodat voor de algemene oplossing geldt:

y(x)= c_1J_a(x)+c_2J_{-a}(x)

in het bijzonder is

Y_a(x) = \frac{J_a(x) \cos(a\pi) - J_{-a}(x)}{\sin(a\pi)}

Voor a=n\in \Z is

J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x),

dus zijn J_n en J_{-n} lineair afhankelijk.

Ook is

Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)

waarin

Y_n(x)=\lim_{a\to n}Y_a(x)

dus zijn ook Y_n en Y_{-n} lineair afhankelijk. Wel zijn J_n en Y_n lineair onafhankelijk, zodat in dit geval de algemene oplossing geschreven kan worden als

y(x)= c_1J_n(x)+c_2Y_n(x)

De besselfuncties van de eerste soort worden gegeven door de complexe integraal:

J_n(x)=\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C}\frac{g(x,z)}{z^{n+1}}dz

met C een geschikte contour en g(x,z) de voortbrengende functie gegeven door:

g(x,z)=e^{\frac{x}{2}(z-\frac{1}{z})}=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)z^n

Eigenschappen van de besselfunctie[bewerken]

De besselfuncties van de eerste soort hebben de machtreeksontwikeling

J_a(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k! \, \Gamma(k+a+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+a},

die met de methode van Frobenius afgeleid kan worden[1]

De besselfuncties voldoen aan de recursieve betrekkingen:

J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n}{x}J_{n}(x)\;
J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x)\;

Een berekening leert dat de besselfunctie van de eerste soort en van de nulde orde gegeven wordt door:

J_{0}(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}dt\;

Als we J_{0}(x)\; plotten dan verkrijgen we het volgende resultaat:

Grafische weergave besselfunctie

J_{0}(x)\; bereikt haar maximale amplitude in de oorsprong. Naarmate x\; zich verwijdert van de oorsprong neemt de amplitude geleidelijk af om dan uiteindelijk te verdwijnen in het oneindige (x \rightarrow +\infty\;, x \rightarrow -\infty\;).

  1. Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.10.