Uniforme convergentie

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is uniforme convergentie een sterkere vorm van convergentie dan puntsgewijze convergentie. Een rij $(f_{n}:V\to \mathbb {R} )$ van functies convergeert uniform op $V$naar een limietfunctie $f$ als de snelheid van de convergentie voor alle $x\in V$ dezelfde is.

Definitie

De rij reëelwaardige functies $(f_{n}:V\to \mathbb {R} ){n\in \mathbb {N} }$ op de verzameling $V$ heet uniform convergent met limietfunctie $f:V\to \mathbb {R}$, indien er voor iedere $\varepsilon >0$ een natuurlijk getal $N$ bestaat zodanig dat voor alle $x\in V$ en alle $n\geq N$ geldt dat $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$.

Alternatief geldt dat $(f_{n})$ dan en slechts dan uniform convergeert naar $f$, als

$\lim _{n\to \infty }\,\sup _{x\in V}|f_{n}(x)-f(x)|=0.$