Naar inhoud springen

Wallis-product

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskunde is het Wallis-product, dat in 1655 werd geconstrueerd door John Wallis, een voorstelling van het getal in de vorm van een oneindig product:

Wallis leidde zijn product af zoals dat tegenwoordig in de analyse wordt gedaan, namelijk door de waarde van te vergelijken voor even en oneven , en door op te merken dat de waarde van de integraal bij grote maar weinig verandert als met 1 verhoogd wordt. Aangezien de infinitesimaalrekening zoals we die nu kennen, toen nog niet bestond en de inzichten uit de wiskundige analyse ontbraken om te kunnen spreken over convergentie, was dit resultaat voor Wallis een stuk lastiger te bewijzen; hij was er ook niet helemaal zeker over. Achteraf blijkt het Wallis-product een eenvoudig gevolg van de later ontdekte productformule voor de sinusfunctie.

Bewijs met Eulers oneindige productformule voor de sinusfunctie[1]

[bewerken | brontekst bewerken]

De productformule voor de sinus luidt:

Met volgt dan:

,

dus

Bewijs met een integraal[2]

[bewerken | brontekst bewerken]

Definieer

Pas voor partiële integratie toe, zodat

ofwel

Herhaalde toepassing hiervan voor levert

en voor volgt

Samen geven deze twee vergelijkingen

Er geldt

en

Omdat een dalende rij is, geldt

Als gaat de linkerkant naar 1, dus wegens de insluitstelling volgt

De bovenstaande formule kan dus worden herschreven tot

Relatie met de formule van Stirling

[bewerken | brontekst bewerken]

De formule van Stirling voor zegt dat

als . Bekijk nu de eindige benaderingen van het Wallis-product, door alleen de eerste factoren te nemen:

Dus kan geschreven worden als

Door middel van substitutie van de formule van Stirling in deze uitdrukking (voor zowel als ) blijkt (na een korte berekening), dat naar convergeert als .

De Riemann-zèta-functie en de Dirichlet-èta-functie zijn gedefinieerd als:

Als we een eulertransformatie op de tweede reeks toepassen, krijgen we het volgende:

Externe verwijzingen

[bewerken | brontekst bewerken]