Overleg:Van der Pol-vergelijking

Terminologie en (elektro)dynamica

Hoe spel je Van der Pol-vergelijking en -oscillator in het Nederlands? Bij Van der Waals heeft men er Vanderwaalskrachten van gemaakt. Maar zelfs in het Engels schrijft men "Van der Pol oscillator" (b.v. http://www.scholarpedia.org/article/Van_der_Pol_oscillator). Verder lijkt mij "electrodynamica" te beperkt, en zou ik zeggen "In de dynamica beschrijft...", zie b.v. de genoemde plasmafysica onderaan. -- Crowsnest 26 mei 2009 23:50 (CEST)

Zoals het er nu staat is goed gespeld, mede gezien het streepje, wat bij vergelijkingen gebruikelijk is. De elektrodynamica vind ik juist het prominente werkterrein van deze geleerde, die eerst met onderzoek aan Triodeschakelingen, later aan hartritmes relaxaties heeft verricht, ook als pionier van het Ned. Radio Genootschap, zeer elektronische elektrodynamica dus. De andere soorten dynamica zijn daar slechts afgeleiden van, daar de grondslagen van de QED alle normale materiële en chemische wisselwerkingen beschrijven. Vloeistofdynamica bijv. bij een Hoogleraars-vgl op dat gebied. ÕOk Fourier- /Laplacefuncties- en -transformaties, en operatorenrekening stamt toch echt uit ontwikkeling van de Elektronica, ook als het (later) op andere gebieden werd ingezet. D.A. Borgdorff - e.i. - 27 mei 2009 00:04 (CEST) PS: als één der research-opvolgers van ir. Hanso Schotanus à Steringa Idzerda en tot slot is de elektro van het Grieks met een K.

Alhoewel oorspronkelijk uit de electrodynamische hoek, is de huidige toepassing toch veel breder (ik had het overleg hier nog niet gelezen voor ik in het artikel de boel weer naar "dynamica" terugzette, mijn excuses). Deze verruiming van het toepassingsgebied komt terug in de "Betekenis". De "Korteweg–de Vries vergelijking" (KdV vgl) is bedacht voor watergolven, en wordt nu ook voor van alles en nog wat toegepast. Terwijl de "niet-lineaire Schrödinger vergelijking" (NLS vgl) bedacht is ten behoeve van de kwantumfysica en nu toepassing vindt in de optica en vloeistofdynamica. En is het nu "Van der Pol-oscillator" of "Van der Pol oscillator"? -- Crowsnest 27 mei 2009 00:43 (CEST)

Ik ben het daar niet mee eens, een (door mij gestarte) vergelijking naar een groot Elektronicus zónder Elektro te vernoemen is een belediging aan diens erudiete adres. Dus haak ik af, en zal dit aan de moderator die mij attendeerde melden. U heeft niet eens de K gezet, maar ik had Uw watervisie allang gezien, en Korteweg was de WISKUNDIGE promotor van o.a. prof. Brouwer. D.A. Borgdorff - e.i. - 27 mei 2009 01:09 (CEST) Mijn excuses, maar ik werd eerder voor plaatsen van deze Vergelijking geblokt.

Hartelijk dank: de K was mij wederom ontgaan. En, wat te denken van "De Van der Pol-vergelijking vindt haar oorsprong in de elektrodynamica, en is vernoemd naar haar bedenker, ...". -- Crowsnest 27 mei 2009 02:17 (CEST)

• Dat vind ik nog wel aanvaardbaar voor de eerste Elektronica dr."ingenieur" van Nederland, die ook zeker internationale bekendheid kreeg door ontrafeling van de Triode-vergelijking, en voor de daarin optredende trillingsvormen vervolgens een passend wiskunstig maatpak leverde aan de Wereld, terwijl ze hem op de Nederlandse Wiki bijna waren vergeten. Prof.dr. Hendrik Casimir echter niet, en de IEEE met vele pionierende (vermogens)elektronici ook niet. Bij voorbaat hartelijke collegiale dank en groet: D.A. Borgdorff - e.i. - 27 mei 2009 02:38 (CEST)

Prof. dr. Henk Bremmer[2], een andere elektronicapionier[3], o.a. bekend van de Bremmer-reeksen [4] en de operatorenrekening, schijnt hier ook vergeten te zijn. In relatie tot Van der Pol, zie [5], waarmee hij o.a. gezamenlijk een boek schreef. -- Crowsnest 27 mei 2009 09:37 (CEST)

Daar heeft U ook wel gelijk, maar deze heeft "later" en aanzienlijk minder baanbrekend kunnen opereren, waardoor hij (internationaal) slechts "in de schaduw bleef van" en hier blijkbaar meer als kunstschilder / pedagoog in het Instituut voor Nederlandse Geschiedenis: http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn3/bremmer (opgenomen) gezien wordt. Hij is ook mij meer secundair, als dr. M. Grossman voor dr. A. Einstein in mathematisch opzicht te zien, hoewel deze "vergelijking natuurlijk mank gaat", dacht ik. → D.A. Borgdorff - e.i. - 27 mei 2009 10:04 (CEST)

Mijn hoogleraar: prof.dr.ir. J.G. Niesten kreeg bijv. in 1989 de zeldzame dr.ir. C.J. de Groot-plaquette, genoemd naar die bekendere Radiopioneer (dan Bremmer): zie bijv. de geschiedenis van Radio Kootwijk met de vroegste Zenderverbinding naar Nederlandsch Oost-Indië. Maar ir. "Idz" uit Den Haag was de echte Wereld-pionier der Radiouitzendingen van bijna een eeuw geleden. Ut semper salutas cardialis: D.A. Borgdorff - e.i. - 27 mei 2009 10:20 (CEST)

Tja, die drie kende ik nou weer niet, door mijn fixatie op water: Bremmer-reeksen worden toegepast bij oppervlaktegolven om reflectie bij variërende waterdiepte (dus refractie-index) te bepalen. Met vriendelijke groet, Crowsnest 27 mei 2009 18:48 (CEST)

Ook tja, hoewel ik me ooit - doch zeer kort - met complexe vortices en cavitatie heb beziggehouden. Met de bepaling van het Getal van Reynolds en het grensvlak tussen turbulente en laminaire stroming, alsmede de viscositeit der vloeistoffen, komen die immers weer in de vastestoffysica en plasmafysica terug inzake de (belemmering) van het elektronentransport - in zowel halfgeleiders als isolatoren, en in de aanslag- en ionisatieverschijnselen van deze materie. Idem gegroet: D.A. Borgdorff - e.i. - 27 mei 2009 21:40 (CEST)

Nog even over de door Van der Pol zelf geschreven gereduceerde vergelijking:

${d^{2}u \over dt^{2}}-\epsilon (1-u^{2}){du \over dt}+u=0$ ... met ε = positief gedachte buisparameter, met nulwaarde voor zuiver harmonische trillingen, die zichzelf bij deze triode-LC-oscillator (met een beam-zendbuis 1614 = "premium version of metal-cased 6L6") in stand houden na de aanloop-periode. Bij een kleine ε (rond één = 1) worden de trillingen laagfrequenter en hoekiger met een minder sinusvormig maar steiler pulsfront en gedempte daaltijd, en bij grote waarden ε vanaf ca. 10 krijgt men de zo kenmerkende (afgeronde) blokgolfvorm van deze relaxatie trillingen. E.e.a. nog geheel zonder gedwongen exitatie, uitgeschreven in het rechterlid = géén gereduceerde vgl meer. Het betrof toepassing van de triode als zgn. negatieve weerstand in een RLC-trillingskring met eigenfrequentie. Ook zijn schakelingen voor een relaxatiekring met een gasontladingbuis, als bijv. 85A1 gerealiseerd. Modern zou dit o.a. met het Zenereffect kunnen worden bereikt, zoals bij het creëeren van zaagtandspanningen. Zie de buis: http://www.wiwitubes.com/pic/tube/RCAjan1614.jpg . - Groet: D.A. Borgdorff - e.i. - 2 jun 2009 01:25 (CEST)<

De twijfel slaat hard toe: een __NOTOC__ of niet? Voor mij hoeft die TOC niet bij een kort artikel. LS, Crowsnest 30 mei 2009 03:18 (CEST)

Voor mij ook niet, maar ik begrijp er dan ook echt geen syllabe van. D.A. Borgdorff - e.i. - 30 mei 2009 21:30 (CEST)

Gedrag bij excitatie

De oplossingen van de Van der Pol-vergelijking vertonen voor verschillende waarden van de amplitude A een ander gedrag:

• voor kleine amplitude A oscilleert het systeem met de eigenfrequentie
• voor grotere amplitude treden behalve de eigenfrequentie en de frequentie van de forcering ook nog andere frequenties op, resulterend in chaotisch gedrag
• nog grotere waarden van A resulteren erin dat het systeem gaat trillen met de opgelegde frequentie van de excitatie — een gedwongen trilling

Deze (proef)tekst van collega Crowsnest maar tijdelijk even hier gezet ;-). Wat mij bereft mag het ter discussie erin (blijven). Met Groet: D.A. Borgdorff - e.i. - 30 mei 2009 21:30 (CEST)

Bovenstaande tekst is gebaseerd op het Germaanse de:Van-der-Pol-System, maar ik twijfel heftig aan de correctheid. Scholarpedia laat een ander gedrag zien:

• voor kleine niet-lineariteit trillen met de excitatiefrequentie (dus niet de eigenfrequentie van de vrije trilling)
• voor grotere niet-lineariteit: chaos
• voor nog grotere niet-lineariteit "phase locking" (wat is daar de Nederlandstalige term voor?), met trilfrequentie mω/n voor x(t), en daarbij zowel m als n positieve gehele getallen; dus overheersende sub- (m=1) en super-harmonischen (n=1) alsmede super-harmonischen van de sub-harmonischen

En dit lijkt mij veel aannemelijker. Maar is Scholarpedia een "betrouwbare bron"? -- Crowsnest 30 mei 2009 21:47 (CEST)

Hoe groter de niet-lineairiteit des te meer hogere "harmonischen" dus interferenties mogelijk zijn en met resonantiefrequenties krijg je altijd interlocking door de hogere Q en (dus) in afhankelijkheid van de bandbreedte. Voorlopig lijkt me die Scholarpedia = Japanse Wikipedia wel genoeg, anders was 'ie allang door de wetenschapscritici *uit de lucht gehaald*. Hier is anharmonische analyse nodig. Die chaostheorie is er pas *sinds kort*, dus lang na Van der Pol ontstaan; ik moet daartoe in de wiskunde van de Radiotechniek, en Hartfunctie duiken (enter ..RED..), en getrimde Child-Langmuir- en Tellegenvergelijkingen door te nemen, maar dat nu vergt enige tijd, zoals ik U meldde. Intussen: D.A. Borgdorff - e.i. - 30 mei 2009 22:45 (CEST)

• Zo (globaal) te zien zit er geen discrepantie tussen de correcte Duitse beschrijving en de reeds gestelde Scholarpedia. De (genoemde) Langmuirrelatie is een 1½ machtsvergelijking voor de ruimtelading, en het Tellegen-theorema ging over netwerktheoretische functies, beiden weinig van doen met Van der Pol, zowel de homogene als de inhomogene vorm met hun resp. oplossingen. Ik ben nu bezig te zoeken in gespecialiseerder (elektronica) vakliteratuur w.o. Ned. Leerboek der Cardiologie (onder red. dr. A.J.Dunning - dr. F.L.Meijler - dr.A.P.M.Verheugt) m.m.v. ca. 20 Hoogleeraren en elders eerder vermeld ISBN 90-313-0529-4 en idem J.Boutkan (vectorcardiografie) over: ECG met ISBN 90-313-0063-2 inzake de Cardiologische aspecten met μ (resp. ε of a) van 5 - het tienvoud van 0,5 = ½, die in de huidige figuur is weergegeven. Zover: D.A. Borgdorff - e.i. - 31 mei 2009 14:32 (CEST)

Fantastisch, wat er zoal boven komt drijven. Dezelfde (Irving) Langmuir is trouwens in de stromingsleer bekend van de Langmuir-circulaties, waarvan de effecten bij een stevige wind vaak zichtbaar zijn op grotere wateroppervlaktes, zie b.v. Afbeelding:Rodeo Lagoon From Trail.JPG.
Betreffende de bovenstaande ter-discussie-staande teksten: de primaire discrepantie is dat de Duitse WP beweert, dat voor kleine amplitude A het systeem trilt met de eigenfrequentie. Voor een lineair systeem—in gedwongen trilling—is dit echter de forceringsfrequentie, en ik verwacht—c.q. Scholarpedia geeft—hetzelfde beeld/geluid bij een zwak niet-lineair systeem.
Twee bronnen met pdf-bestanden betreffende de gedwongen van der Pol-oscillator zijn: Physical Review A (1987) 36(3): 1428–1434 en International Journal of Bifurcation and Chaos (1993) 3(6): 1529–1555. Ik kon ze met enige moeite binnenhalen op mijn computer: opslaan i.p.v. openen, en een aantal keren op de pauze-toets drukken als de "download" bleef hangen.
Mijn samenvatting van het Scholarpedia artikel is trouwens ook onjuist: gebieden met periodieke (mω/n) en chaotische oplossingen wisselen elkaar af, zie óók voornoemde twee artikelen in pdf-formaat. Met vriendelijke groet, Crowsnest 1 jun 2009 00:30 (CEST)

Okay U kunt het zo als u het nu beschrijft corrigeren, omdat ik met mijn 3e-hands domputer, in een no-failsafe-netwerkverbinding, die even zomaar een halve dag gestoord was, helaas geen pdf-bestanden (meer) kan lezen & een enorme handicap is. In die cardiologische boeken ben ik nog niet echt opgeschoten wegens het zelfs voor mij onvermijdelijk taaie medische "jargon". Waar ik op doelde uit m'n hoofd was de dode-tijd introductie door deze oscillatievorm, die na een (zeg maar) steeds steilere, kortere puls een relatief langere vereffeningstijd nodig heeft, in hetzelfde ritme althans. Dat komt van die meerdere variabelen. Enfin, ook maar even deze pauzetoets vinden ;-)+> D.A. Borgdorff - e.i. - 1 jun 2009 02:49 (CEST)

Geachte heer Borgdorff, jammer van die pdf-bestanden, omdat daarin een poging wordt gedaan om een drie-dimensionale weergave te maken van het μ–A–ω gedrag van de gedwongen oscillator. Maar u zult begrijpen dat zoiets maar ten dele lukt. In dit geval beperkt het zich—in het beste geval—tot een aantal twee-dimensionale dwarsdoorsnedes … desalnietemin zeer verhelderend. Overigens is de chaos-theorie ook pas sinds de zeventiger of begin tachtiger jaren van de vorige eeuw beter op de kaart gezet: oudere referenties zullen zich waarschijnlijk niet of maar ten dele over chaos (durven) uiten. Ik wens u een verkwikkende pauzetoets, hoogachtend, Crowsnest (overleg) 1 jun 2009 03:03 (CEST)

Misschien waarde Crowsnest, kunt u me nog op een vergelijkbaar niet-pdf door(ver)wijzen, maar wegens internetstoring, moest ik veel "op de rails" zetten ^_^ maar *vond* in negatieve "tijdvereffening": http://www.phy.ilstu.edu/~rfm/320S00/VanderPol.html. Verder dank-u-wel en wel-te-rusten: D.A. Borgdorff - e.i. - 1 jun 2009 03:15 + 09:48 (CEST) en dAb 1 jun 2009 10:05 (CEST)

Een zeer verhelderende "url", maar misschien te *ongedwongen* voor deze nieuwe sectie in het artikel? Wellicht meer geschikt voor de algemene Bronnen, noten en/of referenties.
Niet-pdf: mager qua tekst en formules, maar wel een leuke illustratie van de afwisseling van periodiek en chaotisch gedrag: [6]. Bifurcaties en "phase locking" komen tot uitdrukking door meerdere—al-dan-niet lopende—lijnen binnen het weergegeven tijdsinterval. Ik denk dat er langzamerhand voldoende materiaal is om een sectie te kunnen opzetten; de boom hier is lang (dan wel hoog) genoeg. Hartelijk dank, Crowsnest (overleg) 1 jun 2009 13:38 (CEST)

Voetnoten

Even kort: in het (oudere) Elektronica Vademecum komt de fase-vergrendelde lus voor als vertaling van de veel meer in zwang zijnde duiding: PLL = phase-locked loop. Er hoeft wat mij betreft ook niet alles vertaald te worden, als het maar begrepen wordt. Met weer een time-out grgroet: D.A. Borgdorff - e.i. - 1 jun 2009 14:04 (CEST)

Hartelijk dank, en een genoeglijke "time-out" (onvertaald gelaten) gewenst. Ik ga nu eerst een eigen zandbak maken, ten behoeve van deze nieuwe sectie. -- Crowsnest (overleg) 1 jun 2009 14:20 (CEST)

(Na bwc) Een niet-pdf, echter over iets anders, maar van direct belang voor deze sectie in het artikel:
Overigens werd door B. van der Pol al gezinspeeld op het optreden van—zoals het nu genoemd wordt—chaos in zijn triode-schakeling, zie (en) Pain, H.J. (2005), The physics of vibrations and waves. John Wiley and Sons, 6^de druk. ISBN 047001296X. , pp. 467–468, zichtbaar zonder pdf. Zie ook het Scholarpedia artikel. Met vr. gr., Crowsnest (overleg) 1 jun 2009 03:34 (CEST)

Volgens Pain (2005):

" … often an irregular noise is heard in the telephone receivers before the frequency jumps, however this is a subsidiary phenomenon … "
— Van der Pol & van der Mark (1927)

-- Crowsnest (overleg) 1 jun 2009 04:16 (CEST)

Wat de hartfunctie betreft lijken er geen analytische oplossingen voorhanden, maar slechts matrixrekeningen te vinden en (vectorieel) grafisch werk. Dit biedt (ook) weinig aanknopingpunten, hoewel er mij nog recenter publicaties bijstaan, waar ik nog even zo (*gauw*) niet op kan komen. V.a.: D.A. Borgdorff - e.i. - 3 jun 2009 01:48 (CEST)

Ter suppletie: wat Dunning et al. betreft, heb ik bij de behandeling van de Elektrocardiografie – door prof.dr. E.O. Robles de Medina – (ook m.n. de paragrafen: "Anatomische en elektrofysiologische basis van het ECG" en "Exitatie van het hart en het ECG" en "Ritme- en geleidingsstoornissen" vv. pp. 62–110, geen mathematische behandeling, anders dan een Vectorcardiografische gevonden. Ik zoek dus verder: D.A. Borgdorff - e.i. - 11 jun 2009 17:14 (CEST)

PPS: Voorzover bekend traceerde V/d Pol en V/d Mark de atrioventriculaire bloks en storingen in de Bundel van His-geleidingsbloks, dat een zgn. bepaald (1e) Wenckebach-blok een nummerieke denominator had (1/2 - 1/3 - 2/3 cc.) waarmee cardiologische extra- en asystolieën e.a. onregelmatigheden (*in fase*) optraden, zoals de elders besproken locks van de PLL's. D.A. Borgdorff - e.i. - 11 jun 2009 17:44 (CEST)

• In het boek over Chaos van Arun V. Holdun —dat door collega Crowsnest op mijn OP is gezet— worden, behalve de triodeschakeling met LRC-seriekring, ook (bijv. in het laatse deel) de hartritmen behandeld. De wiskundige methode met o.a. Hamiltons gaat ver. Zie hiertoe o.a. ook: blz. 250 - T.à.v.: D.A. Borgdorff - e.i. - 12 jun 2009 01:49 (CEST)
• Voor de rest zij verwezen naar mijn proto-berekening no:Brukerdiskusjon:DA Borgdorff #Van der Pol equation, waar de berekening door Dr. R. Victor Jones van Havard de semistatische metastabiele aspecten onderbelicht laat. ir. D.A. Borgdorff - e.i. 13 jun 2009 15:44 (CEST)

Frequency demultiplication

Van de titels van verschillende Engelstalige tijdschriftartikelen van van der Pol (en van der Mark) zijn mooie vertalingen gegeven in de *bronlijst*. Echter, nog niet van hun Nature artikel uit 1927: "Frequency demultiplication". Wat zou hier een goede Nederlandse vertaling voor kunnen zijn? -- Crowsnest (overleg) 10 jun 2009 15:55 (CEST)

In eerste reactie zou ik aan Frequentieanalyse of -ontleding (niet in de huidige zin als dat tegenwoordig wordt verstaan: Frequentieanalyse (cryptografie) ;-) denken, waar Van der Pol doelde op de reversie van de door niet-lineairiteit ontstane frequentievermenigvuldiging en (ook) intermodulatie door som- en verschilfrequenties, als (bij)product van de tetrode-, pentode-, hexode-, en heptode- en octodewerking van de elektronenbuis voor emissiedoeleinden in verband immers met de (elders genoemde) antieke zenderinstallaties bijv. te Kootwijk, Lopik en Scheveningen. Een aardig voorbeeld is o.a. het artikel van ir. H. Mijnarends in het tevens mijner user: 86.83.155.44/Bibliografie genoemde Poly-Technisch orgaan inzake de studiedag vermogenselektronica (= pt-er 33 (1978) nr. 11 - pp. 673–693) over: "Terugwerking van gelijk- en wisselrichters op distributienetten", met name de appendices I & II over Fourierreeksen door: T.S. Subrata en metingen door: P.A.F.M. Kokx en L. Schel aan het waterbouwkundig Laboratorium te Delft. Voor een meer nette vertaling zou men aan frequentieschifting kunnen denken, zeker bij *detectiedoeleinden*. Met amicale groet: D.A. Borgdorff - e.i. - 10 jun 2009 16:36 (CEST)

In één keer raak! De som- en verschilfrequenties vormen de kern van de "Frequency demultiplication", zie [7] en daarvoor, waarbij de ontladingsfrequentie via de triode kan plaatsvinden op de halve, derde, vierde, etc. excitatiefrequentie. Dat geeft dan tevens weer een directe relatie met het Waterloopkundig Laboratorium, zie deze (helaas) pdf, waar men ontdekte dat de schotten voor de al decennia-lang in planning zijnde Venetië stormvloedkering ook een dergelijke demultiplicatie vertonen — het is mij onbekend of de schotbeweging aan de van der Pol-vergelijking voldoet, het zou mij echter niet verbazen als dit het geval is. Desondanks wenst men in Italië niet een meer solide fail-safe ontwerp te overwegen. -- Crowsnest (overleg) 10 jun 2009 17:27 (CEST)

Spelling

Moet het niet Van der Pol-vergelijking zijn i.p.v. van der Pol-vergelijking? De hoofdletter V maakt duidelijk waar de naam begint. Otto 12 jun 2009 21:42 (CEST)

Een goede vraag. In het Engels vaak niet, zie b.v. [8], maar in het Nederlands weet ik het niet. Met vriendelijke groet, Crowsnest (overleg) 12 jun 2009 22:16 (CEST)

Volgens de spellingsregels van het Taalunieversum schrijf je het eerste voorzetsel van een eigennaam met een hoofdletter. In het Nederlands is het een uitzondering om daarvoor een kleine letter te gebruiken als er een voornaam, initiaal of familienaam aan voorafgaat. Dat laatste is hier niet het geval. Otto 12 jun 2009 22:36 (CEST)

Beste Otto: inderdaad. Zie ook: Hoofdletter in de Nederlandse spelling#Tussenvoegsels. Het worden weer V'tjes. Hartelijk dank, Crowsnest (overleg) 12 jun 2009 22:45 (CEST)

Relatie triode-modellen van Barkhausen en Van der Pol

In het artikel staat nu:

terwijl volgens de betrekking van Barkhausen met steilheid S:

${\frac {{\text{d}}i_{a}}{{\text{d}}t}}=S{\frac {{\text{d}}u_{g}}{{\text{d}}t}}+\left({\frac {1}{'r_{i}'}}\right).{\frac {{\text{d}}V_{a}}{{\text{d}}t}}$

Van der Pol gaf de anodestroom i_a een vorm als

$i_{a}=S\,u_{g}\left(1-{\frac {u_{g}^{2}}{3K^{2}}}\right).$

Wat zijn hierin ′r_i′ en V_a? En hoe verhouden beide modellen zich tot (en onder) elkaar? De modellen zijn uiteraard identiek indien

$\left({\frac {1}{'r_{i}'}}\right).{\frac {{\text{d}}V_{a}}{{\text{d}}t}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {u_{g}^{3}}{3K^{2}}}\right).$

Als halve elektrobeet ben ik benieuwd ... -- Crowsnest (overleg) 13 jun 2009 17:54 (CEST)

Volgens de ruimteladingswet van Child-Langmuir (met stroomdichtheid j = ρ.V & ½ m.v² = q.V) geldt dat j ~ V.√ V = k.V ^3/2, meestal met V_a anodespanning dat j = (k/d²).V_a^3/2. Voorts geldt (afgezien van de ruimteladingsbarrière) dat deze emissie-stroomdichtheid j = j₀ exp(+q.V_a/k.T) met k de Boltzmannfactor en T de Kelvintemperatuur. Verder dat de anodestroom volgens Child-Langmuir Ia = K.(u_g + D.Va), waarin de versterking μ =1/D = partiële dVa/dVg (Vg ~ u_g) de inwendige weerstand r_i = (ibid) dVa/dIa = (2/3).μ.K ^-2/3.Ia₀^-1/3 en de steilheid S = (ibid) dIa/dVg = 1½.K^+2/3.Ia₀^+1/3 ... enfin, rekent U maar uit en met vriendelijke groet: ir. D.A. Borgdorff 13 jun 2009 19:01 (CEST) PS: Tevens blijkt de versterking μ = r_i.S - Barkhausen's wet is natuurlijk de basisformule; Van der Pol is voor *zijn* Triodeoscillatorschakeling ontdekking en formulering. - D.A. Borgdorff - 13 jun 2009 19:32 (CEST)

Zie ook de:Barkhausensche Röhrenformel. -- Crowsnest (overleg) 13 jun 2009 20:39 (CEST)

• Waarde Crowsnest, wat U schrijft is wat anders dan ik bedoelde, daar de Barkhausenrelatie altijd in partiële differentiaalvorm voor Trioden blijft gelden, óók voor de Triodeschakeling als *Oscillator* door V/d Pol. Deze schematisch getekende schakeling is niet strijdig of anders dan de Barkhausenformule, die dus (nog) geldig blijft, maar netwerkformule-wetten van Kirchhoff in de diverse knoop- en maasvergelijkingen bepalen (door DIE schakeling) de vorm en structuur van zijn oscillator-vergelijking, zoals die als relaxatieformule bekend raakte. De historie maakt daar ook gewag van: het onderzoek van trillingen door aan en vanwege Trioden, later (met –R) direct uit Tetroden en nog later bijv. met Zeners. De opgebouwde *schakeling* bepaalt welke formule *er te voorschijn komt*. Groet: D.A. Borgdorff 13 jun 2009 23:22 (CEST)

Even als geheugensteun, gekopieerd van bovengenoemde Duitse WP-pagina:

$S\cdot D\cdot R_{i}=1$

met

$S=\left({\frac {\partial \,i_{a}}{\partial \,u_{g}}}\right)_{u_{a}={\rm {const}}},$   $D=-\left({\frac {\partial \,u_{g}}{\partial \,u_{a}}}\right)_{i_{a}={\rm {const}}}$   en   $R_{i}=\left({\frac {\partial \,u_{a}}{\partial \,i_{a}}}\right)_{u_{g}={\rm {const}}}$

Ik maak uit uw commentaar op, dat mijn interpretatie onjuist is: dat de Barkhausenrelatie (in de quote bovenaan deze sectie) de eerste (lineaire) term is uit een meer-dimensionale Taylorreeksontwikkeling. In de Van der Pol oscillator is, voor zover ik het begrijp, de oscillatie op de (grote) anodespanning u_a van ondergeschikt belang, en wordt daarom verwaarloosd (of via de wederzijdse inductie M verdisconteerd in S). Verder interpreteerde ik de Barkhausenrelatie als een relatie voor het gedrag van de triode op zich, los van de rest van de schakeling, maar dat is wellicht ook fout. De spannings- en stroomwetten van Kirchhoff, en hun invloed op de uiteindelijke differentiaalvergelijking voor een bepaalde schakeling begrijp ik (maar ik kan fouten maken). Met vriendelijke groet, Crowsnest (overleg) 14 jun 2009 00:01 (CEST)

Beste dAb, zie ook [9]. Een goede nacht, Crowsnest (overleg) 14 jun 2009 00:33 (CEST)

• Voorzover ik me nog herinner, legt de *partiële* Barkhausen vast met kromme = *gekoppelde* differentialen: dat S.D.Ri = 1 van de doorwerking D (van het rooster op de anode) de inverse μ = 1/D is de versterkingsfactor. Nu is er de 1e gesloten trillingskring LRC met (wisselspannings)-bron: E, die met C het buisrooster stuurt -- en de 2e gesloten kring met de batterijgevoede Triode: T-M, de secundaire van de Spoel L, die a.h.w. parallel-geschakeld is aan de buisanode, waarbij tussen anode en rooster (beide van uit de kathode) de Barkhausenrelatie werkt als versterker, tegelijk voor een positieve terugkoppeling gezorgd is via de gekoppelde (trafo)spoel L en M. Dit gaat dan nog niet over de gelijkstroominstelling om die buis in te stellen met bias, werkpunten et al. Het beschrevene (met kleine letters) gaat over de wisselspannings-trillingen. Aangezien de Triode e.a. buizen een niet-lineair gedrag vertonen (zeker voor grote uitwijkingen / amplituden) kan dat niet gelineariseerd worden. Van der Pol heeft zijn verghgelijking door analyse van de schakeling verkregen, inclusief rekening gehouden met Barkhausen. Ook de resonantie van het thyristordoofcircuit van de GTL8-tractieschakeling heb ik bijv. analytisch berekend, terwijl tegenwoordig bijna alles discreet / digitaal bemonsterd moet worden in numerieke analyse. - De afleiding is hier niet (zo) makkelijk en afhankelijk van allerlei externe variaties. In de bvoorbeeld referentie is dacht ik die afleiding wel beschreven, maar dat vergt nogal veel pagina's, zeker voor diverse varianten. Door blokkaden en weer een waarschuwing ben ik echt (teveel) van slag geraakt om dit zeer grondig door te nemen: het is er (helaas) nog niet van gekomen, en ik hoop dat U me hiervoor wilt verontschuldigen. Enfin, ook hartelijke groet: D.A. Borgdorff 14 jun 2009 00:40 (CEST) En PS: dat negatieve teken wordt in veel formules wel vergeten of door absoluten: | D | etc. vervangen, maar bij een zgn. *minder* negatieve Vg stijgt Ia en dus daalt Va wegens de belasting, die bijna altijd een uitgangstrafo was, zoöok hier, bij Van der Pol. Immer: D.A. Borgdorff 14 jun 2009 01:24 (CEST)

Goedemorgen heer Borgdorff. Hartelijk dank voor uw heldere explicatie, die zélfs ik goed kan volgen.

Terugkomend op het minusteken in D: zou in dat geval, dus plus minus, niet S•D•R_i = −1 Verder heb ik nog deze referentie gevonden. Die maakt er

${\frac {{\text{d}}i_{a}}{{\text{d}}t}}=S\left[{\frac {{\text{d}}u_{g}}{{\text{d}}t}}+D{\frac {{\text{d}}V_{a}}{{\text{d}}t}}\right]$

van (en dat klopt weer met eerstgenoemde vergelijking in deze sectie als S•D•R_i = 1 ). -- Crowsnest (overleg) 14 jun 2009 10:24 (CEST) P.S. Kortom, als in de definitie van D een minus wordt geïntroduceerd om op een positieve D uit te komen, moet dan ook niet aan de definitie van één van de overige twee grootheden S en R_i eveneens een minus toegevoegd worden om deze positief te houden?

Ik zag bij het bezoek @ Duitse Wiki, dat de collega's maar er gemakshalve een Δ voor in de plaats hebben gezet, ...;-) T-jajas, zo kan ik ook het minteken *verdoezelen*, dat in de partiële differentiaalvergelijking (welke in een meerdimensionaal te vertonen grafische vorm inzichtelijk is te maken) niet hoefde verdonkeremaand te worden. Misschien is die vorm nog ergens op te duiken -?/ ... zie de:Diskussion:Barkhausensche Röhrenformel. Verder staat in het lemma Triode vermeld dat:

• "Het is niet moeilijk in te zien dat de versterkingsfactor juist de verhouding is van de capaciteiten C_gk tussen het stuurrooster en de kathode, en C_ak tussen de anode en de kathode:

$\mu =-\left[{\frac {\partial V_{ak}}{\partial V_{gk}}}\right]_{I_{a}}={\frac {C_{gk}}{C_{ak}}}$

en dus relatief eenvoudig afhangt van het ontwerp van de buis." {einde citaat} *+> D.A. Borgdorff 14 jun 2009 17:18 (CEST)

• U heeft (wiskundig gezien) natuurlijk (volkomen) gelijk, maar de wiskunde is, of liever nu: was – ook hier bij VdP – slechts een formule om vorm te geven aan het verschijnsel. Zo staat in Deel L–Z van de Elektro W.P. – uitgegeven toen prof.dr. B. Van der Pol nog leefde, en door zijn assistent prof.dr. B.D.H. Tellegen, en ir. L.Vroom (mijn leermeester) - - gerekend met een LCR-parallelkring en r < 0 eveneens parallel, met een stroom/spannings karakteristiek \ i_r = a.u³ – ß.u [p. 252] waarmee LC.d²u/dt² – L(ß –1/R – 3au²).du/dt + u = 0 '\ – en dus geen seriekring, waarbij (ingeval: r < 0, genoteerd als "– r") zolang de spanningsamplitude stijgt er dan een in trechterschroefvorm toenemende trilling onstaat langzamer of sneller afhankelijk van de factoren, tot het evenwicht R + r = 0 wordt bereikt (vs. karakteristiek) met een zeker constante amplitude !!, terwijl het om een benadering van de primitieve tetrodeschakeling gaat, die in dit boek over een (door een capacitair rem- op schermrooster kortgesloten) penthode ging ter vervanging van de (verouderde) tetrode, welke buis nu juist wegens zijn negatieve weerstand in het voorste deel van zijn buiskarakteristiek berucht was in die schakeling. Reden waarom dit buistype als bundeltetroden maar beter door die per Tellegen *uitgevonden* penthoden [10] werden vervangen: om paracitaire oscillaties, die Van der Pol onderzocht, i.v.m. uitzendingen vanuit Radio Kootwijk. Bij de laatste schakeling is [p.559] door de koppelcapaciteit een terugkoppeling tussen ingang (schermrooster) en uitgang (remrooster) bij geval de versterkingsfactor μ > 1 zal er dus oscillatie optreden, ook omdat de spanningsvariatie van scherm- en remrooster in fase zijn, bij stab op het stuurrooster. Vele soorten schakeling zijn mogelijk en *IMHO* is ook de 3e-machts wiskundige formule slechts een benadering van het toen gebruikte buisgedrag. Even *tot zover*: D.A. Borgdorff 14 jun 2009 11:54 (CEST)
• Ook in Uw Gerthsen referentie wordt in de formule δUa = – Ra.δIa gebruikt, als een met de operatorenrekening in de Laplacetransformatie onvoldoende door de wiskunde met singulariteiten afgedekt gebied van deze oneigenlijke Laplace-integraal. Daarom wordt in alle moderne boeken als Van der Veen en Moers per definitie de inverse D of versterkingsfactor μ tussen absolute haken μ = | Ua,k/Ug,k | bij Δ Ia = 0, waar ik bijv. voor steilheid S wel 4 definities (bij Δ Ua,k = 0) vond, partieel: (kromme) δ/δ, DEF: Δ/Δ, kleine sign.: i_a/u_g en de 1e afgeleide: d i_a(u_g)/d u_g, terwijl de oudere werken zich weinig aan dat minteken gelegen laten liggen. D.A. Borgdorff - e.i. - 14 jun 2009 12:30 (CEST)

Externe links aangepast

Hallo medebewerkers,

Ik heb zojuist 2 externe link(s) gewijzigd op Van der Pol-vergelijking. Neem even een moment om mijn bewerking te beoordelen. Als u nog vragen heeft of u de bot bepaalde links of pagina's wilt laten negeren, raadpleeg dan deze eenvoudige FaQ voor meer informatie. Ik heb de volgende wijzigingen aangebracht:

• Archief https://web.archive.org/web/20030502215220/http://www.physik3.gwdg.de/~ulli/pdf/MPL93.pdf toegevoegd aan http://www.physik3.gwdg.de/~ulli/pdf/MPL93.pdf
• Archief https://web.archive.org/web/20090117013813/http://www.phy.ilstu.edu/~rfm/320S00/VanderPol.html toegevoegd aan http://www.phy.ilstu.edu/~rfm/320S00/VanderPol.html

Zie de FAQ voor problemen met de bot of met het oplossen van URLs.

Groet.—InternetArchiveBot (Fouten melden) 13 sep 2017 08:07 (CEST)