Gebruiker:D.A. Borgdorff/Materiegolven

мини|250п|Вълни на Дьо Бройл. Анимацията представя фазовата и групова скорости на три електрона в забавен каданс, разпространяващи се на разстояние 0.4 Å. Горният електрон има два пъти по висок момент от средния, а долният - два пъти по-нисък. ___ Materiegolven worden door de Louis-Victor de Broglie's vergelijking beschreven als quotiënt van de constante van Planck en impuls. De impuls is inproduct van en:mass en snelheid. De Broglie's vergelijking kan beschreven worden met:

λ = h / (m·v)

waarbij dus λ = en:wavelenght, h = en:Planck constant, m = massa en v = snelheid.

Wegens door Einstein gepostuleerde equivalentie van massa en nl:energie via de relatie: E = m.c², bestaat het golfspectrum van een kwantum niét alleen uit de elektromagnetische straling middels fotonen, maar ook in andere energetische wisselwerkingen of en:interactions waarbij een elementair deeltje betrokken is. Door de rustmassa getoetst aan Kopenhaagse interpretatie, wordt deze golffunctie beschreven in pakketten die in tegenstelling tot straling een beperkte reikwijdte hebben. Deze nu worden opgevat als materiegolven door invloed van genoemde materie-deeltjes.

Een tweede basisidee van de quantummechanica is de golf-deeltje-dualiteit. Deze stelt dat elk fysisch object zowel een deeltjes- als golfkarakter heeft, waarbij het ene of de andere wordt waargenomen al naar gelang de manier waarop men observeert. Dit is nog het best te vergelijken met afbeelding van zekere optische illusies, die zowel een oude man als jonge vrouw voorstellen. Het belang van dit idee is dat de de Broglie-golflengte (λ) van een object een indicatie geeft of een interactie als klassiek dan wel quantummechanisch beschouwd dient te worden.

Uitgaande van de formules: $E=\hbar \omega$ — en tevens gelet op: $p=\hbar k$ — waarin:

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$, met: $\hbar$ als nl:constante van Dirac en $k=2\pi /\lambda$ het golfgetal, met: $\omega =2\pi \nu$ als rotatiefrequentie, geldt voor de impuls (p) van bijvoorbeeld een foton dan:

$p=\hbar k={\frac {h}{\lambda }}$

Louis de Broglie stelde deze vergelijking "algemeen" voor willekeurige deeltjes:

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

met de relativistische impuls van deze deeltjes:

$p={\frac {mv}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

Een recentere berekening voor nl:kwantumchemie is van E. Besalú.

Is deze golflengte even groot als het object waarmee interacties plaatsvinden, dan moet men de quantummechanische beschrijving gebruiken. Een mens of een auto kan dus zonder problemen als klassiek systeem beschouwd worden, omdat de afmeting ten opzichte van de De Broglie -golflengte zeer groot is. Voor atomen is dit — evenals bij elementaire deeltjes — niet altijd het geval. Bij atoomstructuren in bijvoorbeeld een Bose-Einsteincondensaat kan deze lengte vele centimeters zijn en is er dus een macroscopisch systeem waar toch de quantummechanische effecten een rol spelen.

Zie ook

• nl:kwantumelektrodynamica
• nl:kwantummechanica
• nl:kwantumveldentheorie
• nl:Bose-Einsteincondensaat
• nl:Feynman-Kac-formalisme
• nl:Schrödingervergelijking
• nl:Wentzel-Kramers-Brillouin benadering

Formulación matemática

La dinámica y propiedades básicas de una teoría de campo depende de la forma seleccionada para el . La selección de lagrangiano depende de las simetrías del y del hecho de que la teoría describa adecuadamente la interacción entre fermiones cargados. En de una teoría que describa campos fermiónicos interactuando mediante un campo de gaue bosónico asociado a partículas sin masa (fotones) cuyo grupo de gauge es conmutativo el lagrangiano de partida puede tomarse como:

${\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\,$

Donde el campo ferminónico $\ \psi$ y su adj. Dirac ${\bar {\psi }}$ son los campos que representan partículas de carga eléctrica, específicamente el electrón y los campos del positrón representados como espinor Dirac. La parte del lagrangiano que contiene el tensor de campo electromagnético describe la evolución libre del , mientras que la ecuación Dirac con la de describe la evolución libre de los campos del electrón y del positrón así como su interacción con el .

Ecuaciones de movimiento

La o ecuaciones de evolución temporal de la QED pueden obtenerse mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange del de la teoría. Insertando ese lagrangiano en las se obtiene la ecuación de evolución temporal de la teoría:

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\quad {\mbox{con}}{\begin{cases}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right)\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }-m{\bar {\psi }}\end{cases}}$

Colocando los dos términos dentro de la ecuación de Euler-Lagrange resulta finalmente la siguiente ecuación de evolución para el campo fermiónico:

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi \,$

El miembro de la izquierda es precisamente la y el término de la derecha representa la interacción con el .

Las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange, aplicadas ahora al campo $A^{\mu }$, permiten encontrar las ecuaciones de evolución del campo electromagnético:

$\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0\quad {\mbox{con}}{\begin{cases}\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \end{cases}}$

Y la ecuación de evolución del campo electromagnético resulta finalmente:

$\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,$

Donde el segundo miembro puede ser interpretado como la asociada al campo fermiónico.

Reglas de Feynman

Para dar cuenta de todos los efectos cuánticos, es necesario reemplazar las componentes de los campos en las anteriores ecuaciones diferenciales por operadores autoadjuntos interpretables como genuinos operadores cuánticos. En general eso lleva a unos sistemas de ecuaciones que no sabemos como integrar exactamente, pero que admiten un tratamiento perturbativo, descomponiendo el operador de evolución temporal ${\hat {U}}_{QED}=\exp(it{\hat {H}}_{QED})$ en series de potencias o serie perturbativa.

El cálculo de cada término de la serie anterior puede realizarse de manera casi automática con la auda de los llamados , a los que se puede asociar unas reglas de Feynman. La precisión del cálculo depende de cuantos términos se consideran e la serie perturbativa anterior.

Renormalización

Un serio problema con las reglas de Feynman es que tal que fueron establecidas por primera vez conducen a diagramas y términos divergentes en la serie perturbativa, es decir, términos no finitos que echan a perder el cálculo de los términos finitos. Obviamente todos los resultados físicos son finitos y esos términos divergentes del cálculo no son observables en la realidad. La renormalización es un conjunto de reglas adicionales que interpretan qué relación existe entre los términos calculados y los términos medibles en la realidad y generan reglas adicionales que permiten "normalizar" los cálculos y garantizar que se producen resultados numéricos finitos comparables con la realidad mediante experimento.

Es conocido que el hecho de que una teoría cuántica sea una le confiere la propiedad de ser renormalizable, en el sentido de que existe un conjunto de reglas adicionales que permiten eliminar términos divergentes no observables y dar lugar a resultados finitos.

... verificabilidad y notificación ...

Teoría científica, ing° D.A. Borgdorff em. COITI via: —86.83.155.44 (discusión) 12:33 22 feb 2008 (UTC)

Seguir el pulso

Estimado Don T.: muchas gracias por la ayuda a favor de opinión con respecto al antear el ambiente para desbloquear mi asunto. Cordial saludo: D.A. Borgdorff - ing° eléctrico recurso: —86.83.155.44 (discusión) 10:48 9 jun 2008 (UTC)

Dear Sir Dmitri Nikolaj and estimated mr. Van Schie: I herewith like to really thank you for your helpfull support in the case of my recent astonishing blocking up from further editing again. In the mean time with best regards I remain faithfully yours: D.A. Borgdorff - e.i. - MASc. by 86.83.155.44 (talk) 11:32, 9 June 2008 (UTC)

Cfr.: Colleagues = Celloman - Rikipedia - Lidewij - Balko - Art - Edo - Sonty - Koolstra - Londenp - Richardkiwi - Diogenes - Itsme - Drirpeter - Mastertim -Tûkkã - B.Dijkstra - WDV - Wikix - Mtthshksm - Erik Warmelink - JAM. → Regards: Borgdorff 86.83.155.44 (talk) 12:18, 9 June 2008 (UTC)

I am thinking probably being supposed to must have so to be stopped definitely in this continuously handling of matters regarding my person. Unfortunately: in the moment can't see it differently. Esteemed regards with thanks again. As usual: D.A. Borgdorff - from 86.83.155.44 (talk) 04:13, 11 June 2008 (UTC)

• Dear dAb, we're still trying to get rid of that ridiculous block... don't loose faith too soon. Regards, sincerely, DTBone (talk) 13:20, 11 June 2008 (UTC)

Talkpage Tom Meijer: "Helaas" - 86.83.155.44 (talk) 16:35, 11 June 2008 (UTC)

Monopole Maxwell's equations

en:Maxwell's equations of electromagnetism relate the electric and magnetic fields to the motions of electric charges. The standard form of the equations provide for an electric charge, but posit no magnetic charge. Except for this, the equations are symmetric under interchange of electric and magnetic field. The fact that the electric and magnetic fields can be written in a symmetric way is specific to the fact that space is three-dimensional. When the equations of electromagnetism are extrapolated to other dimensions, the magnetic field is described as a rank 2 en:antisymmetric tensor, while the electric field remains a en:true vector. In dimensions other than 3, these two objects do not have the same number of components. In fact, symmetric equations can be written when all charges are zero, and this is how the wave equation is derived.

Fully symmetric equations can also be written if one allows for the possibility of "magnetic charges" analogous to electric charges.[2] With the inclusion of a variable for these magnetic charges, say $\ \rho _{m}$, there will also be a "magnetic current" variable in the equations, $\ \mathbf {j} _{m}$. The extended Maxwell's equations are as follows, in cgs units:

Name	Without Magnetic Monopoles	With Magnetic Monopoles
en:Gauss's law:	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho _{e}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho _{e}$
en:Gauss' law for magnetism:	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =4\pi \rho _{m}$
en:Faraday's law of induction:	$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{m}$
en:Ampère's law (with Maxwell's extension):	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{e}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{e}$
Note: For the equations in nondimensionalized form, remove the factors of c.

The en:Lorentz force becomes

$\mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)+q_{m}\left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {E} \right)$

In SI units, magnetic charge conventionally has units of T·m² (although some authors use different conventions), See, for example: arXiv:physics, eqn (4), in which the unit of magnetic monopole differs by a factor of μ₀, compared to the version from Jackson 1999: Classical Electrodynamics (*) — used in this article, and Maxwell's equations and the Lorentz force law take the following form:

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{e}/\epsilon _{0}$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{m}$
$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {j} _{m}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mu _{0}\mathbf {j} _{e}$
$\mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)+(q_{m}/\mu _{0})\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times (\mathbf {E} /c^{2})\right)$

If magnetic charges do not exist, or if they exist but where they are not present in a region, then the new variables are zero, and the extended equations reduce to the conventional equations of electromagnetism such as $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$. Classically, the question is "Why does the magnetic charge always seem to be zero?"

• (*) Jackson 1999. For Maxwell's equations, see section 6.11, equation 6.150,

page 273. For the Lorentz force law, see page 290, exercise 6.17(a)

Transposed by D.A. Borgdorff ↔ 86.83.155.44 (talk) 10:07, 17 June 2008 (UTC)

BF model field theory

The BF model is a topological field theory, which when quantized, becomes a en:topological quantum field theory. BF stands for background field. B and F, as can be seen below, are also the variables appearing in the en:Lagrangian of the theory, which is helpful as a mnemonic device.

We have a 4-dimensional en:differentiable manifold M, a en:gauge group G, which has as "dynamical" fields a en:two-form B taking values in the en:adjoint representation of G, and a en:connection form A for G.

The action is given by

$S=\int _{M}K[\mathbf {B} \wedge \mathbf {F} ]$

where K is an invariant en:nondegenerate en:bilinear form over ${\mathfrak {g}}$ (if G is en:semisimple, the en:Killing form will do) and F is the curvature form

$\mathbf {F} \equiv d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

This action is diffeomorphically invariant and gauge invariant. Its en:Euler-Lagrange equations are

$\mathbf {F} =0$ (no curvature)

and

$d_{\mathbf {A} }B=0$ (the en:covariant exterior derivative of B is zero).

In fact, it is always possible to gauge away any local degrees of freedom, which is why it is called a topological field theory.

However, if M is topologically nontrivial, A and B can have nontrivial solutions globally.

In- and external links

• en:Spin foam
• en:Background field method
• en:Quantum field theory

  

• http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2000/qg2.2.html

Duplicated by: D.A. Borgdorff = 86.83.155.44 (talk) 11:38, 16 June 2008 (UTC)

• See also advanced: http://www.eburon.nl/elementary_process_theory

Редагування Хвилі де Бройля

Хвилі де Бройля - основний компонент Корпускулярно-хвильовий дуалізм \ корпускулярно- хвильового дуалізму Луї де Бройля, котрий в середині 20-х років 20- го століття спробував побудувати альтернативну аксіоматичну квантову теорію відмінну від концепції, що базується на Рівняння Шредінгера Основна думка де Бройля полягає в розповсюдженню основних законів квантової теорії світла (вірніше випромінювання Планка - Ейнштейна) на рух матеріальних частинок певної маси. З рухом всякої вільної частинки, яка має енергію $E$ та імпульс $\mathbf {p}$, де Бройль зв'язує плоску хвилю

$\psi (\mathbf {r} ,t)=C\cdot e^{i(t\omega -\mathbf {k} \mathbf {r} }$

де $\mathbf {r}$- радіус- вектор частинки, що вільно рухається, $t$- час. Частота цієї хвилі $\omega$ та її хвильовий вектор $\mathbf {k}$ зв'язані з енергією та імпульсом частинки такими ж рівняннями, що справедливі і для квантів світла, тобто:

$E=\hbar \omega ,\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \$.

Це і є основні рівняння де Бройля. На відміну від теорії квантів світла, де йшли від хвильової концепції до корпускулярної, тут все протікало навпаки - від корпускулярної - до хвильової. Тобто тут ми доповнюємо корпускулярну теорію елементами хвильової, шляхом введення частоти $\omega$ та довжини хвилі $\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}$, пов'язаних з рухом часток.

Підставляючи значення для $\omega$ та $\mathbf {k}$ у вираз для плоскої хвилі, отримуємо дещо змінений вираз для плоскої матеріальної хвилі, котра залежить від величини енергії $E$ та імпульса $p$:

$\psi (\mathbf {r} ,t)=C\cdot e^{i\left({\frac {Et}{h}}-{\frac {\mathbf {p} \mathbf {r} }{h}}\right)}$

Таку хвилю і називають хвилею де Бройля. Питання про природу цих матеріальних хвиль - не просте... На перший погляд може здатися, що рух матеріальних хвиль не може мати ніякого зв'язку з механічними законами руху часток. Проте це не так. Щоб переконатися в цьому досить розглянути властивості хвиль де Бройля. Заради спрощення розглянемо рух хвилі вздовж осі $OX$ (одномірний випадок):

$\psi (x,t)=C\cdot e^{i(t\omega -kx)}$

Величина $t\omega -kx$ являє собою фазу плоскої хвилі. Можна розглянути деяку точку $x$, де фаза має певне значення $\phi$. Координата цієї точки визначається із рівняння

$\phi =t\omega -kx\$,

звідки видно, що значення фази $\phi$ буде з плином часу буде переміщуватися в просторі зі швидкістю $u$, яку можна отримати шляхом диференціювання попереднього рівняння по $t$:

$u={\frac {\omega }{k}}$.

Ця швидкість називається фазовою. Якщо ця швидкість залежить від $k$, а також і від довжини хвилі $\lambda$ (так як $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}$), то має місце дисперсія хвиль. На відміну від електромагнітних хвиль, для хвиль де Бройля дисперсія існує і в пустому просторі (вакуум). Ця властивість витікає із самого визначення основних рівнянь де Бройля. Дійсно, між енергією $E$ та імпульсом $p$ існує деякий зв'язок. Для швидкостей частки $v\ll c$ ($c$- швидкість світла), тобто в області справедливості механіки Н'ютона, енергія частки, що вільно рухається:

$E={\frac {p^{2}}{2m_{0}}}$

де $m_{0}$- маса частки. Підставляючи це значення $E$ в основні рівняння де Бройля та виражаючи $p^{2}$ через $k^{2}$, знаходимо:

$\omega ={\frac {h}{2m_{0}}}k^{2}$

і значить $u={\frac {\omega }{k}}$ є функція від $k$.

Тепер можна перейти до встановлення зв'язку між рухом хвилі та частки. Для цього можна розглянути не строго монохроматичну хвилю, котра має певну частоту $\omega$ та довжину хвилі $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}$, а майже монохроматичну хвилю, яку будемо називати групою хвиль. Під групою хвиль будемо розуміти суперпозицію хвиль, які мало відрізняються одна від одною по довжині хвилі та напряму розповсюдження. Для простоти можна розглянути групу хвиль, що розповсюджується в напрямі $OX$. Згідно даному визначенню групи ми можемо написати для коливання $\psi (x,t)$ наступний вираз:

$\psi (x,t)=\int _{k_{0}-\Delta k}^{k_{0}+\Delta k}c(k)e^{i(t\omega -kx)}\,dk$

де $k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}$ є хвильове число, біля якого лежать хвильові числа хвиль, що утворюють групу ($\Delta k$ припускається достатньо малим). Внаслідок того, що $\Delta k$ мале, мі можемо розікласти частоту $\omega$, котра є функція від $k$ по ступеням $k-k_{0}$. Тоді отримуємо:

$\omega =\omega _{0}+({\frac {d\omega }{dk}})_{0}(k-k_{0})+...$

$k=k_{0}+(k-k_{0})\$.

Взявши $k-k_{0}$ в якості нової змінної інтегрування $\xi$ та вважаючи, що амплітуда $c(k)$ є функція, що повільно змінюється з $k$, знаходимо, що $\psi (x,t)$ може бути представлена у вигляді:

$\psi (x,t)=c(k_{0})e^{i(\omega _{0}t-k_{0}x)}\int _{-\Delta k}^{\Delta k}e^{i{\big [}({\frac {d\omega }{dk}})_{0}t-x{\big ]}\xi }\,d\xi$.

Виконуючи просте інтегрування по $\psi (x,t)$, знаходимо:

$\psi (x,t)=2c(k_{0}){\frac {\sin {{\big [}\left({\frac {d\omega }{dk}}\right)_{0}t-x{\big ]}\Delta k}}{{\big [}\left({\frac {d\omega }{dk}}\right)_{0}t-x{\big ]}}}e^{i(\omega _{0}t-k_{0}x)}=c(x,t)\cdot e^{i(\omega _{0}t-k_{0}x)}$

Враховуючи малість $\Delta k$, величина $c(x,t)$ буде повільно змінюватися із зміною $t$ та $x$. Тому $c(x,t)$ можна розглядати як амплітуду майже монохроматичної хвилі, а $\omega t-k_{0}x$ - як її фазу. Визначимо точку $x$, де амплітуда $c(x,t)$ має максимум. Цю точку будемо називати центром групи хвиль. Очевидно, що даний максимум буде знаходитися в точці

$x=\left({\frac {d\omega }{dk}}\right)_{0}t$

Звідси випливає, що центр групи буде переміщуватися зі швидкістю $V$, яку можна знайти шляхом диференціювання попереднього рівняння по $t$, тобто:

$V=\left({\frac {d\omega }{dk}}\right)_{0}$

Цю швидкість назвемо "груповою швидкістю" (на відміну від швидкості фази, рівну ${\frac {\omega _{0}}{k_{0}}}$). Якби хвилі не мали дисперсії, то ми б мали тривіальний випадок $V=u$. У випадку хвиль де Бройля, враховуючи дисперсію, маємо $V\neq \;u$. Тому групова швидкість $V$ тут буде:

$V={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {hk}{m_{0}}}$

Проте, оскільки $hk=p$, а із іншого боку $p=m_{0}v$, де $v$ - швидкість частки. Тому ми приходимо до важливого виводу:

$V=v\$;

що групова швидкість хвиль де Бройля рівна механічній швидкості частки $v$.

Отримані вище співвідношення для одномірного простору, можуть бути легко розповсюджені на загальний випадок руху в тримірному просторі:

$V_{x}={\frac {\partial \omega \;}{\partial k_{x}\;}}={\frac {\partial E\;}{\partial p_{x}\;}}=v_{x}$

$V_{y}={\frac {\partial \omega \;}{\partial k_{y}\;}}={\frac {\partial E\;}{\partial p_{y}\;}}=v_{y}$

$V_{z}={\frac {\partial \omega \;}{\partial k_{z}\;}}={\frac {\partial E\;}{\partial p_{z}\;}}=v_{z}$

або у векторній формі:

$\mathbf {V} =\nabla \;_{k}\omega =\nabla \;_{p}E=\mathbf {v}$

Обчислимо для двох випадків довжину хвилі де Бройля. Оскільки

$\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi h}{p}}$

тому у випадку малих швидкостей $v\ll \;c$ із врахуванням $E={\frac {p^{2}}{2m_{0}}}$, будемо мати:

$\lambda ={\frac {2\pi h}{\sqrt {2m_{0}E}}}$

Ця формула дозволяє обчислення довжини хвилі $\lambda$, знаючи масу $m_{0}$ та енергію частки $E$.

Можна використати цю формулу для електрона. В даному випадку при $m_{0}=9\cdot 10^{-28}$ г виражаючи енергію в $eV$ (електрон- вольтах), покладемо $E=eV$, де $e$- заряд електрона, а $V$ - різхниця потенціалів, що прискорює електрон, яка вимірюється у вольтах:

$\lambda ={\sqrt {\frac {150}{V}}}$ A

Для $V=1eV$ отримаємо $\lambda =12,2$ A (ангстрем), а для $V=10000eV$ буде - $\lambda =0,122$ A.

Примітки

Відомо, що незважаючи на чисельні експериментальні підтвердження підхід де Бройля, як аксіоматичної теорії зазнав історичної поразки... Справа в тому, що опис матеріальних часток у вигляді груп хвиль де Бройля має таку- собі неприємну властивість розпливання з часом (нагадує до деякої міри розмивання прямокутного імпульса в довгих лініях електротехніки та електроніки), позбутися якого нікому не вдалося до сих пір. Звичайно геній де Бройля може й вирішив би цю проблему, проте в свій час він приєднався до т.з. Копенгагенської конвенції і повернувся до себе лише на початку 50-х років. Проте поїзд пішов..., і проблема лишилася нерозв'язною. І всеж таки потенції лишилися, і є надія на відродження...

De Broglie's parodox

Quantum Mechanics considers the duality wave-particle through the interpretation proposed by de Broglie. The diffraction has been detected for the elementary particles, as electrons, protons, neutrons, molecules. Considering these experiments, we show here that there is a grave incompatibility between this solution of Quantum Mechanics and the Michelson-Morley experiment, if we replace the light by protons, and Michelson’s interferometer is replaced by a crystal.

Davison-Germer experiment

When an electron crosses a crystal, it can suffer diffraction according to the Bragg’s relation, which is: nλ = 2.d. senφ .... [2.1]

Davisson, Germer and Thomson made experiments with φ = 65^o , d = 0,91Å , and electrons with kinetic energy 54eV.

Through the expression 2.1 we get: λ= 1,65 Å .... [2.2]

The wavelength of de Broglie, for the electrons with energy 54eV used at the Davisson-Germer-Thomson experiment, is:

λ = h/p = 6,6x10-34j-s/4,0x10-24kg-m/s = 1,65 Å .... [2.3]

Electrons with kinetic energy 54eV have approximately a speed 4.000km/s. As we see, the postulate of de Broglie gets the same result of the Bragg’s relation. According to the authors Robert Eisberg & Robert Resnick^{( 1 )}, the electron suffers diffraction into the crystal because “there is a constructive interference of waves spread by the periodic arrangement of the atoms in the planes of the crystal ”. So, this constructive interference is a consequence of: d=0,91Å within the crystal, and the electron’s speed 4.000km/s.

In the experiments of diffraction electrons are used with speed 4.000km/s. But instead of using electrons we can replace them by protons. As the proton has a mass 2.000 times greater than the electron, then de Broglie’s wavelength of a proton with speed 2km/s will be 1,65Å. Then let us imagine Michelson-Morley experiment, made with a proton with speed 32km/s.

We will consider the Sun as a reference at rest. And in order to simplify the explanation, let's consider that the Earth's translation velocity around the Sun is 30km/s. So the crystal in our laboratory has a speed of 30km/s with regard to the Sun. But the Bragg’s relation does not depend on the speed of the crystal, in order that through his relation we get the value λ=1,65Å.

Now let us submit the protons to the experiment, when they are emitted in two directions. Let us analyze the two different directions of the proton’s motion in the experiment.

Michelson-Morley experiment for protons

In a new version of Michelson-Morley experiment, we replace the light by a flux of protons, and the Michelson's interferometer by a Davison-Germer crystal. Let's analyse such new version of the experiment.

1- First let us consider that the flux of protons is emitted with 32km/s in contrary direction of the Earth’s motion. The speed of the protons with regard to the Sun is 32km/s - 30km/s = 2km/s. So, by de Broglie’s relation we get a wavelength λ=1,65Å , and by the Bragg’s relation we also have λ=1,65Å. This means that the proton shall be submitted to the diffraction effect into the crystal, and we can detect the proton’s duality by the experiment.

2- Now consider the flux of protons emitted with 32km/s in the same direction of the Earth’s motion. The speed of the protons with regard to the Sun is 32km/s + 30km/s = 62km/s. Then, the proton has a de Broglie’s wavelength λ=1,65Å/31 = 0,055Å, while from the Bragg’s relation for the crystal λ=1,65Å. Therefore such proton cannot suffer diffraction into the crystal.

This is the result that we have to expect from the concepts of Quantum Mechanics. But suppose that we make this Michelson-Morley experiment for protons, and we get a result showing that the speed 30km/s of the Earth does not have influence on the proton’s diffraction, no matter the direction of the flux of protons with regard to the Earth’s motion. Clearly this experimental result does not fit to the concepts of Quantum Mechanics, as has been shown above. One can say that there is no paradox, because it is necessary to consider the velocity of the crystal with regard to the proton, i.e., actually it would be necessary to consider the relation λ= h/m(V-v), where V is the velocity of the proton, and v is the velocity of the crystal. With such argument, actually we are introducing the Doppler effect between the proton and the crystal. However such argument is valid only for pure waves, it is not valid for the de Broglie’s idea of duality. Let us show why.

Consider a proton with speed 30km/s. Its wavelength h/mv is λ= 0,11Å. And if we use a crystal with distance d= 0,06Å , from the Bragg’s relation we get λ= 0,11Å, and therefore in the laboratory we must detect the proton’s diffraction. This is the prediction according to de Broglie’s interpretation. But now consider that we make such experiment with the proton going in contrary direction of the Earth’s motion around the Sun. Therefore, with regard to the Sun, the velocity of the proton is Vp= 0. In such experiment, the proton is at rest, while the crystal has a velocity Vc=30km/s toward the direction of the proton. Unmistakably the proton is stopped with regard to the Sun, and this means that it does not have wave feature. The proton with Vp= 0 is 100% corpuscular, and therefore it cannot suffer diffraction into the crystal. So, the de Broglie’s interpretation is wrong.

New de Broglie's Paradox

Obviously we have a paradox. The duality, according to the interpretation of de Broglie, is not compatible with the Michelson-Morley experiment for protons. Let us call it Michelson-deBroglie Paradox. It shows that it is not correct the de Broglie's interpretation for the relation λ=h/p.

New interpretation for duality wave-particle

Instead of being a property of the matter, it's possible the duality wave-particle may be a property of the helical trajectory of elementary particles as the electrons. The helical trajectory is known as , which appears in the Dirac's equation of the electron.

From such new interpretation, the duality wave-particle is not a manifestation of the matter. Actually it's a property of the helical trajectory.

Related paradoxes

The de Broglie's intepretation on the duality wave-particle is related to the . Such relation is analysed in the book Quantum Ring Theory^{( 2 )}, where it's proposed the hypothesis that EPR paradox can be solved from a model of photon composed by a particle and its anti-particle moving with helical trajectory

The de Brogi'es interpretation is related to several other paradoxes in Quantum Mechanics, since the de Broglie's postulate is the fundamental background of the theory. It is related to the , and also to a paradox of the Bohr theory of the hydrogen atom. See Successes of en:Bohr's model in the Discussion of the article

Comments

Obviously we have a paradox. The duality, according to the interpretation of de Broglie, is not compatible with the Michelson-Morley experiment for protons. Let us call it Michelson-deBroglie Paradox. It shows that it is not correct the de Broglie's interpretation for the relation λ=h/p.

Instead of being a property of the matter, it's possible the duality wave-particle may be a property of the helical trajectory of elementary particles as the electrons. The helical trajectory is known as en:zitterbewegung, which appears in the Dirac's equation of the electron

From such new interpretation, the duality wave-particle is not a manifestation of the matter. Actually it's a property of the helical trajectory.

Signatures: 200.149.61.68 (talk) & 200.97.93.67 03:48, 15 April 2008 (UTC)

For some sources about this, including some that resolve it, see here. It might be sensible to add something to the article, as long as it's well rooted in reliable sources. Dicklyon (talk) 05:04, 15 April 2008 (UTC)

• Dicklyon, the books quoted by you speak about OTHER DE BROGLIE'S PARADOX, as we see in [3],

where it's written: "How can De' Broglie discover his famous relation between the particle's momentum and a wave length, a paradox stemming from the time dilatation effect of SR".

• Therefore the paradox quoted by you has not any relation to the de Broglie's paradox concerning the new version of Michelson's experiment, named Michelson-Morley experiment for protons.
• Actually there is not any solution proposed for this new de Broglie's paradox in any book, except in Quantum Ring Theory: [4]

Ccfr: D.A. Borgdorff 86.83.155.44 (talk) 11:32, 1 July 2008 (UTC)

See also

1- Cold fusion, Don Borghi's Experiment, and hydrogen atom: [5]

2- Successes of the Bohr atom: http://peswiki.com/index.php/PowerPedia:Successes_of_the_Bohr_atom

References

1- R. Eisberg, R. Resnick, Quantum Physics of atoms, Mmlecules, solids, nuclei and particles , Wiley & Sons, 1974

2- W. Guglinski, Quantum Ring Theory-foundations for cold fusion, Bauu Press, 2006

Author = 200.97.93.67 (talk) cfr. → Nota Bene: übersetzung durch D.A. Borgdorff 86.83.155.44 16:19, 30. Jun. 2008 (CEST)

---

Ich bin ehemalig Haupt-Entwerfer der de:Straßenbahn Den Haag, wie Ingenieur der de:Quantenelektrodynamik und de:Leistungselektronik mit VDE: 546934 & 28878 - VDI: 19958957 - KIVI/NIRIA: 6638 - COITI: 1940. Immer Achtung: 86.83.155.44 13:05, 14. Jun. 2008 (CEST) wie D.A. Borgdorff \ auf: nl:Gebruiker:86.83.155.44 und siehe auch: nl:User:86.83.155.44/D.A. Borgdorff:Materiegolven & nl:Overleg: Materiegolven – vv.

Discussion

---

Zie Interpretatie van de kwantummechanica en nl:talk:Materiegolven. D.A. Borgdorff: 86.83.155.44 22 mei 2008 12:45 (CEST) - Nog nader uit te werken quantumformule: $i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi \,$. - Zie ook: [6]

Prof.ing. R.-L. Vallée: L'énergie électromagnétique matérielle et gravitationnelle, Masson & Cie, éditeurs - Paris, 1971 - traduction libre par : ing. D.A. Borgdorff, – relativement à: "hypothése d'existence des milieux énergétiques et d'une valeur limite supérieure du champ électrique". Ibidem via la SEPED - Paris, 1978 -. Dit laatste betreft het zogenaamde: modèle synergétique. Zie bovendien eveneens: http://fr.ca.msnusers.com/LeCasJeanMarcRoeder/votrepageweb21.msnw - en http://jlnlabs.online.fr/vsg/theorie/index.htm - alsmede in: fr:Théorème de Wick.! Inclusief recente links: D.A. Borgdorff i.c. 86.83.155.44 20 jan 2008 20:29 (CET)

Voor meer wiskundige behandeling zijn links naar nl:Bose-Einstein Statistiek, de nl:Schrödingervergelijking, de berekeningen van Feynman-Kac-Itô, en nl:Wentzel-Kramers-Brillouin benadering ingevoegd. 86.83.155.44 13 feb 2008 00:19 (CET)

• Links: de:De-Broglie-Bohm-Theorie en en:Bohm interpretation en http://www.nikhef.nl/~jo/quantum/qm/website/hovo2004/node31.html geplaatst - dAb - 86.83.155.44 25 mei 2008 16:58 (CEST) door D.A. Borgdorff - e.i.

Uitstekende Wikipedia-artikels op daar in relatie met en . Thans in studie de (zojuist) verschenen (afgewezen: sic!) dissertatie → Elementary Process Theory van ir. M.J.T.F. Cabbolet, zie verder nl:Marcoen Cabbolet - LVIII+160 p. ISBN 90-5972-232-9 = ISBN 978-90-5972-232-3 Uitgave: Eburon - Delft D.A. Borgdorff: 86.83.155.44 6 jun 2008 17:16 (CEST)

Referenties

• Broglie, Louis de, The wave nature of the electron, Nobel Lecture, Dec 1929
• René-Louis Vallée: L'énergie électromagnétique matérielle et gravitationnelle, Paris, 1971
  (translation: D.A. Borgdorff) - La théorie Synergétique (fr)

• Exchange interaction (en)
• Introduction to QM (en)
• Théorème de Wick (fr)
• www2.nhl.nl (powerpoint)
• Hugo Martin Tetrode