Additiviteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Additiviteit is een wiskundige eigenschap van een functie f(x):

f(x + y) = f(x) + f(y).

Additiviteit is een voorwaarde voor lineariteit.

Voorbeelden[bewerken]

  • De functie f(x)=x^2 is niet additief: f(x+y)=x^2+y^2+2xy \neq f(x)+f(y)=x^2+y^2


Additiviteit voor functies op een collectie verzamelingen[bewerken]

Voor functies op een meetbare ruimte (\Omega,\mathcal{F}) (d.w.z. dat \mathcal{F} een σ-algebra is van deelverzamelingen van \Omega) is ook een eigenschap additiviteit gedefinieerd.

Een niet-negatieve functie \mu:\mathcal{F} \to [0,\infty] heet additief, ook eindig additief, als voor alle disjuncte A,B  \in \mathcal{F} geldt:

\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B).

Hieruit volgt dat voor ieder eindig aantal disjuncte verzamelingen A_1,A_2,\dots,A_n \in \mathcal{F} geldt:

\mu\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i).

Als ook voor een aftelbaar oneindige rij disjuncte verzamelingen A_1,A_2,\dots \in \mathcal{F} geldt dat:

\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).

heet de functie σ-additief (sigma-additief).