Additiviteit

Additiviteit is een wiskundige eigenschap van een functie f(x):

f(x + y) = f(x) + f(y).

Additiviteit is een voorwaarde voor lineariteit.

Voorbeelden

• De afgeleide en de integraal zijn additief en zelfs lineair.

• De functie $f(x)=x^2$ is niet additief: $f(x+y)=x^2+y^2+2xy \neq f(x)+f(y)=x^2+y^2$

Additiviteit voor functies op een collectie verzamelingen

Voor functies op een meetbare ruimte $(\Omega,\mathcal{F})$ (d.w.z. dat $\mathcal{F}$ een σ-algebra is van deelverzamelingen van $\Omega$) is ook een eigenschap additiviteit gedefinieerd.

Een niet-negatieve functie $\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]$ heet additief, ook eindig additief, als voor alle disjuncte $A,B \in \mathcal{F}$ geldt:

$\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$.

Hieruit volgt dat voor ieder eindig aantal disjuncte verzamelingen $A_1,A_2,\dots,A_n \in \mathcal{F}$ geldt:

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i)$.

Als ook voor een aftelbaar oneindige rij disjuncte verzamelingen $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{F}$ geldt dat:

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$.

heet de functie σ-additief (sigma-additief).