Covariantiematrix

Een covariantiematrix is in de kansrekening en statistiek een matrix met als elementen de paarsgewijze covarianties van een m-tal toevalsvariabelen of hun schattingen.

Populatie

Betreft het de populatie, en worden de m toevalsvariabelen X₁, ..., X_m voorgesteld door de vector X, dan is de covariantiematrix:

$\mathrm{cov}(X) = (\mathrm{cov}(X_r,X_k))=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}X)(X-\mathrm{E}X)^T)\,$,

dus een m×m-matrix cov(X) met als rk-e element:

$(\mathrm{cov}(X))_{rk} =\mathrm{cov}(X_r,X_k).\,$

Steekproef

Gaat het om een steekproef van omvang n uit de populatie van de m toevalsvariabelen X₁, ..., X_m, dan wordt als schatter van de bovengenoemde covariantiematrix cov(X) vaak de (steekproef)covariantiematrix C berekend, bepaald door de schattingen van de elementen van cov(X), dus:

$C_{rk} =\tfrac1{n-1}\sum_i(x_{ri}-x_{r\cdot})(x_{ki}-x_{k\cdot}),\,$

waarin een stip als index aangeeft dat over de betrokken index gemiddeld is

Eigenschappen

• Een (reële) covariantiematrix is symmetrisch en positief semi-definiet.
• Op de hoofddiagonaal van de covariantiematrix staan de varianties van de afzonderlijke toevalsvariabelen.
• Voor een m×m-matrix A geldt: $\mathrm{cov}(AX) = A\ \mathrm{cov}(X)A^T$.
• Voor verschuiving over een vector b geldt: $\mathrm{cov}(X+b) = \mathrm{cov}(X)\,$.
• Als X en Y ongecorreleerde vectoren van toevalsvariabelen zijn, geldt: $\mathrm{cov}(X+Y) = \mathrm{cov}(X) +\mathrm{cov}(Y)$.

Zie ook

• Simultane verdeling
• Multivariate normale verdeling