Multivariate normale verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Multivariate normaal
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters \mu = (\mu_1, \dots, \mu_n) reële vector)
\Sigma positief definiete reële n×n-matrix
Drager x \in\mathbb{R}^n\!
Kansdichtheid \frac{{\mathrm e}^{-\frac 12(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)}}{\sqrt{(2\pi)^n |\Sigma|}}
Verwachtingswaarde \mu
Mediaan \mu
Modus \mu
Variantie \Sigma
Scheefheid 0
Kurtosis 0
Moment-
genererende functie
\exp\left( \mu' t + \begin{matrix}\frac 12\end{matrix} t' \Sigma t\right)
Karakteristieke functie \exp\left( i \mu' t - \begin{matrix}\frac 12\end{matrix} t' \Sigma t\right)
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de multivariate normale verdeling een speciale kansverdeling: het is het analogon van de normale verdeling in meer dimensies. De verdeling wordt ook wel met multidimensionale normale verdeling en multivariate Gaussische verdeling aangeduid.

Definitie[bewerken]

De stochastische vector X = (X_1, \dots, X_n) heeft een multivariate normale verdeling met verwachting \mu = (\mu_1, \dots, \mu_n) en covariantiematrix de positief definiete n×n-matrix \Sigma, als de kansdichtheid gegeven is door:

f_X(x_1, \dots, x_n)=

\frac 1{\sqrt{(2\pi)^n|\Sigma|}}
e^{-\tfrac 12(x - \mu)'\ \Sigma^{-1}(x-\mu)}.

Daarin is |\Sigma| de determinant van \Sigma.

Notatie[bewerken]

Men noteert kort: X \sim N(\mu, \Sigma)\,.

Net als bij de univariate normale verdeling, is de verdelingsfunctie niet expliciet in gesloten vorm te schrijven.

Speciaal geval: univariate normale verdeling[bewerken]

In het geval n = 1 is de verdeling niet meerdimensionaal, maar de gewone normale verdeling.

Speciaal geval: bivariate normale verdeling[bewerken]

Als n = 2 heet de verdeling ook bivariate normale verdeling. De covariantiematrix wordt vaak geschreven als

\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix},

waarin ρ de correlatiecoëfficiënt tussen X1 en X2 is.

Eigenschappen[bewerken]

Als X = (X_1, \dots, X_n)\sim N(\mu,\Sigma), geldt:

Gaussproces[bewerken]

Een Gaussproces is een stochastisch proces waarvan de eindigdimensionale verdelingen (de verdeling van de waardenvector van het proces op een eindige verzameling tijdstippen) normaal zijn. Klassieke voorbeelden van Gaussprocessen zijn: de Brownse beweging en het Ornstein-Uhlenbeckproces.