Bètaverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Bèta
kansdichtheid
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Kansverdeling
Parameters \alpha > 0
\beta > 0 
Drager x \in [0; 1]\!
kansdichtheid \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Verdelingsfunctie Niet expliciet op te schrijven
Verwachtingswaarde \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Modus \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! als \alpha>1, \beta>1
Variantie \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
Scheefheid \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Entropie \ln\mathrm{\Beta}(a,b)-(a-1)\psi(a)-(b-1)\psi(b)+(a+b-2)\psi(a+b)
Moment-
genererende functie
1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

In de kansrekening en statistiek is de bètaverdeling een continue kansverdeling, met twee parameters. De bètaverdeling wordt gebruikt om de kansverdeling van gesorteerde grootheden te beschrijven. Tevens wordt de bètaverdeling uitgebreid gebruikt in de Bayesiaanse statistiek vanwege handige wiskundige eigenschappen van deze verdeling.

Definitie[bewerken]

De kansdichtheid van de bètaverdeling is gedefinieerd op het interval [0, 1] als

 f(x;\alpha,\beta) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}. \,\!

waarbij \mathrm{B}(\alpha,\beta) de bètafunctie is, en α en β beide positieve reële getallen zijn.

Vorm van de grafiek[bewerken]

De bètaverdeling is gedefinieerd op het interval [0, 1]. De vorm van de grafiek hangt af van de parameters:

  • Als \alpha = \beta, dan is de grafiek symmetrisch rond 1/2
  • \alpha < 1,\ \beta < 1: de grafiek heeft een U-vorm (rode lijn)
  • \alpha < 1,\ \beta \geq 1: de grafiek is dalend (blauwe lijn)
  • \alpha = 1,\ \beta = 1: deze bètaverdeling is de uniforme verdeling
  • \alpha > 1,\ \beta \leq 1: de grafiek is stijgend (groene lijn)
  • \alpha > 1,\ \beta > 1: de grafiek is unimodaal (heeft 1 modus) (paarse en zwarte lijn)

Verwantschap met andere verdelingen[bewerken]