Bètaverdeling

Beta
kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters	$\alpha > 0$ $\beta > 0$
Drager	$x \in [0; 1]\!$
kansdichtheid	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
Verdelingsfunctie	Niet expliciet op te schrijven
Verwachtingswaarde	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
Modus	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ als $\alpha>1, \beta>1$
Variantie	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
Scheefheid	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
Entropie	$\ln\mathrm{\Beta}(a,b)-(a-1)\psi(a)-(b-1)\psi(b)+(a+b-2)\psi(a+b)$
Moment- genererende functie	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
Portaal    Wiskunde

In de kansrekening en statistiek is de bèta-verdeling een continue kansverdeling, met twee parameters. De bètaverdeling wordt gebruikt om de kansverdeling van gesorteerde grootheden te beschrijven. Tevens wordt de bètaverdeling uitgebreid gebruikt in de Bayesiaanse statistiek vanwege handige wiskundige eigenschappen van deze verdeling.

Definitie

De kansdichtheid van de bètaverdeling is gedefinieerd op het interval [0, 1] als

$f(x;\alpha,\beta) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}. \,\!$

waarbij $\mathrm{B}(\alpha,\beta)$ de bètafunctie is, en α en β beide positieve reële getallen zijn.

Vorm van de grafiek

De bèta-verdeling is gedefinieerd op het interval [0, 1]. De vorm van de grafiek hangt af van de parameters:

• Als $\alpha = \beta$, dan is de grafiek symmetrisch rond 1/2
• $\alpha < 1,\ \beta < 1$: de grafiek heeft een U-vorm (rode lijn)
• $\alpha < 1,\ \beta \geq 1$: de grafiek is dalend (blauwe lijn)
• $\alpha = 1,\ \beta = 1$: deze beta-verdeling is de uniforme verdeling
• $\alpha > 1,\ \beta \leq 1$: de grafiek is stijgend (groene lijn)
• $\alpha > 1,\ \beta > 1$: de grafiek is unimodaal (heeft 1 modus) (paarse en zwarte lijn)

Verwantschap met andere verdelingen

• De bèta(1,1)-verdeling is gelijk aan de continue uniforme verdeling.
• Als X en Y onafhankelijk zijn en respectievelijk een Gamma(a,c)- en Gamma(b,c)-verdeling hebben, dan heeft X/(X+Y) een bèta(a,b)-verdeling