Momentgenererende functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening en de statistiek, is de momentgenererende functie van een toevalsgrootheid X de voortbrengende functie die voor reële t gegeven wordt door:

M_X(t)={\mathrm E}\left(e^{tX}\right),

mits deze verwachtingswaarde bestaat. De momentgenererende functie kan dan berekend worden als de Riemann-Stieltjes-integraal:

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF_X(x)

waar FX de verdelingsfunctie van X is.

De momentgenererende functie genereert de momenten van de kansverdeling als volgt: wanneer de momentgenererende functie bestaat in een interval rond t = 0, is:

{\mathrm E}\left(X^n\right)= M_X^{(n)}(0).

Als X een continue kansdichtheid f(x) heeft, wordt de momentgenererende functie gegeven door:

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x
 = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ xt + \frac{x^2}{2!}t^2 + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
 = 1 + \mu_1t + \frac{\mu_2}{2!}t^2 +\cdots,

waar μi het i-de moment is.

Voorbeelden[bewerken]

Normale verdeling[bewerken]

Voor de normale verdeling met parameters μ en σ is de momentgenererende functie:

M_X(t)=\frac 1{ \sigma\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^\infty e^{tx} e^{-\frac 12 (\frac{x-\mu}{\sigma})^2} \mathrm{d}x = e^{\mu t+\frac 12\sigma^2 t^2}.

Exponentiële verdeling[bewerken]

Voor de exponentiële verdeling met parameter λ is de momentgenererende functie:

M_X(t)= \lambda \int_0^\infty e^{tx} e^{-\lambda x} \mathrm{d}x = \frac{\lambda}{\lambda-t},   {\lambda>t}


Voor een rij onderling onafhankelijke (en niet noodzakelijk identiek verdeelde) toevalsgrootheden X1, X2, ..., Xn, wordt de momentgenererende functie van de gewogen som

S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,

waar de ai constanten zijn, gegeven door

M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\ldots M_{X_n}(a_nt).

Verwant met de momentgenererende functie zijn enkele andere integraaltransformaties die voorkomen in de kansrekening, zoals de karakteristieke functie en de kansgenererende functie.

De cumulantgenererende functie is de logaritme van de momentgenererende functie.

Verband met Laplacetransformatie[bewerken]

Als de kansdichtheid fX van X bestaat, is

M_X(-t)\,

de tweezijdige Laplacegetransformeerde van fX.