Verdelingsfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening en de statistiek is de verdelingsfunctie, ook aangeduid als cumulatieve kansverdelingsfunctie of cumulatieve distributiefunctie (cdf), van een stochastische variabele de functie waarmee de verdeling van de stochastische variabele beschreven of vastgelegd wordt. De verdelingsfunctie bestaat altijd en voor elke gebeurtenis die de stochastische variabele betreft kan daarmee de kans op die gebeurtenis bepaald worden. Populair gezegd worden alle kansen betreffende de stochastische variabele bepaald door de verdelingsfunctie.

Elke functie die opgevat kan worden als verdelingsfunctie van een stochastische variabele, wordt ook verdelingsfunctie genoemd. Het betreft dan een functie met de hieronder aangeduide eigenschappen.

Definitie[bewerken]

De verdelingsfunctie van de stochastische variabele X op de kansruimte (S,\Sigma,P), is de functie F_X, gedefinieerd voor x \in \mathbb{R} door:

F_{X}(x) = P(X \leq x)=P(\{s\in S|X(s)\le x\})

(Let op het verschil tussen X en x.)

De waarde F_X(x) van de verdelingsfunctie van X in het punt x, is dus de (cumulatieve) kans op waarden van X kleiner dan of gelijk aan x.

Eigenschappen[bewerken]

Een verdelingsfunctie is een monotoon stijgende, rechtscontinue functie F met domein \mathbb{R} en bereik [0,1], waarvoor geldt:

\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0

en

\lim_{x \to \infty} F(x) = 1.

Rechtscontinu betekent:

\lim_{x \downarrow a} F(x) = F(a).

Monotoon stijgend betekent:

x<y \Rarr  F(x) \le F(y).


De verdelingsfunctie F_X en de verdeling P_X van een stochastische variabele X zijn een-eenduidig met elkaar verbonden door de relatie:

F_{X}(x) = P(X \leq x) = P_X((- \infty ,x])

Als de verdelingsfunctie absoluut continu is, dan is ze de integraal van een kansdichtheid. Als de verdeling singulier is, dan is de verdelingsfunctie soms de integraal van een discrete kansfunctie. In het algemeen garandeert de Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue (zie wederzijds singuliere maten) dat de verdeling de som is van een absoluut continu en een singulier gedeelte.

Van de bekende kansverdelingen bestaan tabellen, waarin meestal de verdelingsfunctie getabelleerd is. Uit zo'n tabel kan men dus eenvoudig van die verdeling de linker overschrijdingskans aflezen.

Voorbeeld[bewerken]

Een willekeurig getal X tussen 0 en 1 wordt beschreven door de kansdichtheid:

f_X(x)=1\, voor x \in (0,1)\, en 0 elders.

De bijbehorende verdelingsfunctie is:

F_X(x) =
\begin{cases}
 0 & \mbox{als  } x \leq 0 \\
\,x& \mbox{als  }0< x \leq 1 \\ 
1 &  \mbox{als  } x>1 
\end{cases}

Om de kans te bepalen dat X tussen 0,33 en 0,44 ligt, berekenen we:

P(0{,}33<X<0{,}44) = P(X<0{,}44) - P(X<0{,}33)=F_X(0{,}44)-F_X(0{,}33) = 0{,}44-0{,}33=0{,}11\,.

Zie ook[bewerken]