Scheefheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voorbeeld van rechts-scheef verdeelde data

Het begrip scheefheid (Engels: skewness) is in de statistiek de meestgebruikte maat van asymmetrie. Scheefheid is zowel te berekenen voor een kansverdeling als een steekproef.

Scheefheid in een kansverdeling[bewerken]

De scheefheid is het derde gestandaardiseerde moment van de kansverdeling en wordt genoteerd met γ1:


\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}

Hier is μ3 het derde centrale moment en σ de standaardafwijking. De scheefheid kan dus ook geschreven worden als


\gamma_1 = \frac{{\rm E}(X-\mu)^3}{({\rm E}(X-\mu)^2)^{3/2}}.

Een symmetrische verdeling heeft een scheefheid \gamma_1 = 0. Voorbeelden van symmetrische verdelingen zijn de normale verdeling, de uniforme verdeling (discreet en continu) en de binomiale verdeling met succeskans p=1/2.

Een verdeling heet rechts-scheef, als deze aan de rechterkant een langere en zwaardere staart heeft dan aan de linkerkant. Deze benaming is enigszins verwarrend omdat dit automatisch inhoudt dat de meeste massa zich juist links van het gemiddelde bevindt (zie grafiek). Voor zo'n verdeling geldt dat \gamma_1 > 0. Een voorbeeld van een rechts-scheve verdeling is de Gamma-verdeling. Voor de Gamma(k,θ)-verdeling geldt dat \gamma_1= 1/\sqrt{2k}.

Wanneer de zwaardere staart zich aan de linkerkant bevindt, heet de verdeling links-scheef. Voor zo'n verdeling geldt dat \gamma_1 < 0. Een voorbeeld van een links-scheve verdeling is de Beta(1,0)-verdeling met de kansdichtheid f(x)=1/(1-x) (0 < x <1), en scheefheid \gamma_1 = -0{,}94.

Scheefheid in een steekproef[bewerken]

De scheefheid van een verdeling kan geschat worden aan de hand van de uitkomst x_1,\ldots, x_n van een aselecte steekproef door:


g_1=\frac{\sqrt{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\right)^{3/2}}

waarin \bar{x} het steekproefgemiddelde is. Omdat deze schatter geen zuivere schatter is, dat wil zeggen {\rm E}g_1 \neq \gamma_1, wordt in praktijk meestal de volgende, wel zuivere, schatter gebruikt

G_1 = \frac{\sqrt{n\,(n-1)}}{n-2}\; g_1

Andere maten van asymmetrie[bewerken]

Karl Pearson suggereerde twee asymmetrie-maten die eenvoudiger te berekenen zijn:

Deze maten zijn echter minder gebruikelijk geraakt sinds de opkomst van de computer, die het berekenen van de gewone scheefheidsmaat vergemakkelijkte.