Scheefheid

Voorbeeld van rechts-scheef verdeelde data

Het begrip scheefheid (Engels: skewness) is in de statistiek de meestgebruikte maat van asymmetrie. Scheefheid is zowel te berekenen voor een kansverdeling als een steekproef.

Scheefheid in een kansverdeling

De scheefheid is het derde gestandaardiseerde moment van de kansverdeling en wordt genoteerd met γ₁:

$\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Hier is μ₃ het derde centrale moment en σ de standaardafwijking. De scheefheid is dus ook te berekenen via

$\gamma_1 = \frac{{\rm E}(X-\mu)^3}{({\rm E}(X-\mu)^2)^{3/2}}.$

• Een symmetrische verdeling heeft een scheefheid γ₁ = 0. Voorbeelden van symmetrische verdelingen zijn de normale verdeling, de uniforme verdeling (discreet en continu) en de binomiale verdeling met succeskans p=1/2.
• Een verdeling heet rechts-scheef, als deze aan de rechterkant een langere en zwaardere staart heeft dan aan de linkerkant. Deze benaming is enigszins verwarrend omdat dit automatisch inhoudt dat de meeste massa zich juist links van het gemiddelde bevindt (zie grafiek). Voor zo'n verdeling geldt dat γ₁ > 0. Een voorbeeld van een rechts-scheve verdeling is de Gamma(k,θ)-verdeling, waarvoor geldt dat γ₁ = 2k^-1/2.
• Wanneer de zwaardere staart zich aan de linkerkant bevindt, heet de verdeling links-scheef. Voor zo'n verdeling geldt dat γ₁ < 0. Een voorbeeld van een links-scheve verdeling is de Beta(1,0)-verdeling f(x)=1/(1-x) (0 < x <1), met scheefheid γ₁ ≈ -0.94.

Scheefheid in een steekproef

Voor een steekproef x₁, ..., x_n is de scheefheid te berekenen via

$g_1 = \frac{\sqrt{n\,}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\right)^{3/2}},$

waarbij $\bar{x}$ het steekproefgemiddelde is. Omdat deze schatter geen zuivere schatter is, dat wil zeggen ${\rm E}g_1 \neq \gamma_1$, wordt in praktijk meestal de volgende, wel zuivere, schatter gebruikt

$G_1 = \frac{\sqrt{n\,(n-1)}}{n-2}\; g_1.$

Voorbeeld

Beschouw de steekproef 1, 2, 4, 8. Hiervoor geldt n = 4 en $\bar{x}$=3.75. De scheefheid is als volgt

$g_1 = \frac{\sqrt{4\,}\sum_{i=1}^4 (x_i-3.75)^3}{\left(\sum_{i=1}^4 (x_i-3.75)^2\right)^{3/2}},$

$= \frac{2 \times 50.625}{28^{3/2}} \approx 0.66,$

en

$G_1 = \frac{\sqrt{4\times 3}}{2} g_1 \approx 1.14.$

Andere maten van asymmetrie

Karl Pearson suggereerde twee asymmetrie-maten die eenvoudiger te berekenen zijn:

• (gemiddelde - modus) / standaardafwijking
• 3*(gemiddelde - mediaan) / standaardafwijking

Deze maten zijn echter minder gebruikelijk geraakt sinds de opkomst van de computer, die het berekenen van de gewone scheefheidsmaat vergemakkelijkte.

Onderwerpen uit de beschrijvende statistiek

Gemiddelden: Rekenkundig gemiddelde · Meetkundig gemiddelde · Harmonisch gemiddelde · Kwadratisch gemiddelde · Gewogen gemiddelde · Getrimd gemiddelde · Winsorgemiddelde Andere liggingsmaten: Mediaan · Modus · Kwartiel · Percentiel Spreidingsmaten: Variantie · Standaardafwijking · Variatiecoëfficiënt · Interkwartielafstand Grafische beschrijvingen: Histogram · Boxplot Overig: Moment · Scheefheid · Kurtosis · Vijf-getallensamenvatting