Uniforme verdeling (discreet)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening en de statistiek, is de discrete uniforme kansverdeling, ook homogene verdeling genoemd, een discrete kansverdeling op een eindig aantal uitkomsten die alle even waarschijnlijk zijn.

Een toevalsgrootheid X die N mogelijke waarden, x_1,x_2,\ldots,x_N, kan aannemen die alle even waarschijnlijk zijn, heeft een discrete uniforme kansverdeling. De kans op elke uitkomst x_k, is 1/N. De kansfunctie van X is dus:

p_X(x_k)=P(X=x_k)=\frac 1N, voor k=1,2,\ldots,N.

Een eenvoudig voorbeeld van een discrete uniforme kansverdeling is de uitkomst van een worp met een eerlijke dobbelsteen. De mogelijke uitkomsten zijn 1, 2, 3, 4, 5 en 6 ogen, en de kans op elk van deze mogelijke uitkomsten is 1/6.

Verwachting en variantie[bewerken]

De verwachtingswaarde van de uniforme verdeling op de N verschillende uitkomsten x_1,x_2,...,x_N is juist het rekenkundig gemiddelde van deze uitkomsten. Als de toevalsvariabele X uniform verdeeld is op x_1,x_2,...,x_N, is:

E(X) = \overline x = \frac 1N \sum_{k=1}^N x_k.

Voor de variantie geldt:

\sigma^2={\rm var}(X) = \frac 1N \sum_{k=1}^N (x_k - \overline x)^2,

dus juist de populatievariantie van de uitkomsten.

Aselecte trekkingen[bewerken]

Trekt men aselect meerdere keren uit de populatie \{x_1,x_2,\ldots,x_N\}, dan is elk van de trekkingen X_k homogeen verdeeld op de populatie. Bij trekken met terugleggen zijn de steekproefelementen onderling onafhankelijk. Trekt men zonder terugleggen, dan zijn de steekproefelementen negatief gecorreleerd. Er geldt:

{\rm E}X_kX_r=\frac1{N(N-1)}\sum_{i\ne j} x_ix_j=\frac1{N(N-1)}\left(\sum_{i,j} x_ix_j-\sum x_i^2\right)=\frac1{N-1}\left(N\overline x^2-\sigma^2-\overline x^2\right)=-\frac1{N-1}\sigma^2+\overline x^2,

zodat de covariantie gelijk is aan

{\rm cov}(X_k,X_r)={\rm E}X_kX_r-{\rm E}X_k{\rm E}X_r=-\frac1{N-1}\sigma^2.

De correlatiecoëfficiënt is dus:

\rho=\frac{{\rm cov}(X_k,X_r)}{\sigma^2}=-\frac1{N-1}.

Steekproefgemiddelde[bewerken]

Voor het steekproefgemiddelde \overline Xvan de aselecte trekkingen X_1,X_2,\ldots,X_n geldt:

{\rm E}{\overline X}= {\rm E}X_1=\overline x.

De variantie bij trekken met terugleggen is:

{\rm var}(\overline X)=\frac 1n \sigma^2.

Bij trekken zonder terugleggen is:

{\rm var}(\overline X)=\frac 1n \sigma^2+\frac1{n^2}\sum_{k\ne r} {\rm cov}(X_kX_r)=\frac 1n \sigma^2+\frac{n-1}{n}c=
=\frac 1n \sigma^2-\frac{n-1}{n}\frac1{N-1}\sigma^2=\frac 1n \sigma^2\left(1-\frac{n-1}{N-1}\right)=\frac 1n \sigma^2\frac{N-n}{N-1}.

Bij trekken zonder terugleggen is de variantie dus gelijk aan de variantie bij trekken met terugleggen vermenigvuldigd met het kwadraat van de eindigepopulatiecorrectiefactor.

Zie ook[bewerken]